Контрольная работа: Контактная жесткость плоского стыка

Контактная жесткость плоского стыка

Контрольная работа

Контактная жесткость плоского стыка

Содержание

Введение

. Определение фрактальной размерности поверхности методом покрытия

. Контактирование волнистой поверхности с гладкой

. Деформация шероховатого слоя

. Контактное взаимодействие шероховатой поверхности с гладкой

Список литературы

Введение

Представление о поверхности как о мультифрактальном объекте позволяет учесть одно из фундаментальных свойств некоторых инженерных поверхностей: многократно увеличенные и растущие в количественном отношении неровности поверхности наблюдаются вплоть до нанометрического масштаба. При этом картины поверхности при разном увеличении похожи друг на друга. Фрактальный подход учитывает вариации тех параметров шероховатой поверхности, которые в известных моделях контактного взаимодействия принимались как постоянные величины. Так, в модели Гринвуда - Вильямсона (J.A.Greenwood, J.B.P. Williamson) приняты постоянными: D0 - плотность неровностей (число неровностей, отнесенных к единице площади) иr - радиус закругления вершины неровностей. Эти статистические параметры определяются по формулам

Здесь m2, m4 - спектральные моменты, определенные для изотропной поверхности следующими выражениями:

.

Спектральный момент m0 определяется по формуле , где σsw - среднее квадратическое отклонение высот волн поверхности.

Для анизотропных поверхностей предприняты попытки расширить область применения модели Гринвуда - Вильямсона [4]. При решении задач контактного взаимодействия анизотропная поверхность заменялась изотропной, для которой приведенные спектральные моменты были равны

Максимальное и минимальное значения спектральных моментов профиля поверхности определялись по двум ортогональным направлениям. Когда рассматривается взаимодействие двух шероховатых поверхностей, то обычно без надлежащего обоснования производят замену на контакт эквивалентной шероховатой поверхности с гладкой. Параметры эквивалентной поверхности определяются по формулам

.

Индексы 1, 2 относятся к сопряженным поверхностям.

. Определение фрактальной размерности поверхности

методом покрытия

Для определения фрактальной размерности поверхности нами был разработан так называемый метод покрытия «рваной сеткой». Его смысл заключается в следующем.

. Возьмём квадратную ячейку площадью ε и покроем ею участок поверхности, ориентируя её строго по координатным осям. Положение первой ячейки определяется довольно сложным алгоритмом с использованием данных о топографии поверхности и расчетом центра тяжести ячейки.

2. Положение следующих ячеек зависит от положения края предыдущей ячейки и данных о топографии поверхности под ними. Таким образом, покрывается участок поверхности длиной L вдоль оси Ox лентой, состоящей из ячеек со стороной .

. Независимо от первой ленты по изложенному алгоритму строится рядом другая лента, и так продолжается до покрытия всей поверхности.

. Рассчитываем площадь поверхности

,

где S - истинная площадь поверхности;S0 - проекция поверхности на плоскость (номинальная плоскость); ε - площадь элементарной ячейки, покрывающей поверхность;DS - фрактальная размерность поверхности (2 <DS< 3).

. Уменьшаем площадь ячейки до размера стороны в  и повторяем пункт 1 - 4. Тогда

.

Откуда

.

Если существует предел , равный наклону (или угловому коэффициенту) К, то фрактальная размерность поверхности определяется выражением

Ds = 2 - 2·K, 2 <Ds< 3.

Здесь угловой коэффициентК тоже имеет отрицательное значение. Его определение связано с нахождением точек в координатах lnS/S0 - ln ε при изменении площади ячеек, покрывающих поверхность. С помощью метода наименьших квадратов определяют угловой коэффициент К. Для оценки фрактальной размерности поверхности было разработано соответствующее программное обеспечение. Процедура метода покрытия поверхности (промежуточная стадия покрытия поверхности) понятна из рис. 1. На ней представлена поверхность (карта поверхности Se - map), покрытая по методу «рваной сетки». На рис. 2 представлено определение углового коэффициента с выводом площадей ячеек и поверхности.

Рис. 1. Покрытие поверхности ячейками

Рис. 2. Определение фрактальной размерности

Применяя предложенные алгоритмы, можно найти фрактальную размерность инженерной поверхности, которая будет характеризовать топографические особенности её структуры (шероховатость), учитывая анизотропию поверхности. С помощью фрактальной размерности можно смоделировать шероховатую поверхность и использовать ее при решении инженерных задач. Отметим, что, представляя волнистость гладкой линией, размерность фрактальной поверхности можно определить шероховатостью на площадке, измеряемой квадратом базовой длины.

Плотность высот неровностей

Плотность неровностей как отношение числа неровностей к рассматриваемой площади для фрактальной поверхности является величиной переменной. Число неровностей с ростом выделенной площади растет медленнее, чем площадь. Соотношение между числом неровностей N и характерным размером площади L имеет вид

Представим волнистую поверхность в виде набора сферических сегментов, плотность распределения высот которых запишем в виде, предложенном Найаком (Nayak, P.R.)

где , , , .

Рассмотрим некоторые задачи контактного взаимодействия.

. Контактирование волнистой поверхности с гладкой

Представим волнистую поверхность в качестве нефрактального объекта и рассмотрим контактное взаимодействие с гладкой поверхностью (рис. 3). Будем считать, что радиусы закругления верхней части волн одинаковы и равныrw. Распределение высот выступов (и соответственно их деформаций) подчиняется бета-распределению. Выступы волн представим в виде сферических сегментов.

Рис. 3. Контакт волнистой поверхности с гладкой

Запишем основные соотношения для отдельного пятна контакта волнистой поверхности:

площадь

нагрузка

Здесь rw- радиус закругления верхней части волны; μ, Е - коэффициенты Пуассона и модули упругости сопряженных тел.

Введем переменную z=x/Wp.

Тогда Случайная величина z подчиняется бета-распределению. Полагаем, что по такому же закону распределена и величина (z-d/Wp)=t. Плотность распределения случайной величины t представим в виде

Для множественного контакта найдем:

контурную площадь

нагрузку на номинальную площадь

число вступивших в контакт волн

,

где Wp - максимальная высота волны от средней линии; N - общее число волн, равное отношению номинальной площади Аа к произведению шагов волны в продольном и поперечном направлениях

Найдем относительную площадь контакта

 (1)

Соотношение между номинальным давлением и переменной t имеет вид

Полученные зависимости позволяют оценить среднюю площадь пятна касания

 (3)

Рассмотрим процедуру определения параметров контактного взаимодействия волнистых поверхностей.

Параметры бета-распределения находятся по формулам

где  − выборочное среднее и дисперсия переменной величиныz.

Необходимый объем выборки равен

При нахождении параметров бета-распределения можно принятьtβ=1,643 при β = 0,9, ε -относительная погрешность определения параметров распределения (ε=0,01).

Определяется вид зависимости номинального давления от переменной t. По заданному известному значению номинального давления находят t=(Wp-d)/Wp, где Wp-d = αwпредставляет собой сближение при сжатии волнистых поверхностей.

По найденному значению t определяют по формуле (1) относительную опорную поверхность и среднюю площадь отдельных пятен касания по формуле (3).

Зависимость номинального давления от переменной t представлена на рис. 4. Сближение определяется выражением αw = tWp.

Рис. 4. Зависимость номинального давления от переменной t

Таким образом, можно определить сближение волнистых поверхностей в зависимости от давления.

Контурное давление, соответствующее найденному значению t, равно:

Связь между контурной площадью и переменной t представлена на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость контурной площади от переменной t

Как видно из рис. 3, сближение за счет деформации волн практически отсутствует при номинальном давлении менее 1 МПа.

Тем не менее, сближение при малом давлении определяется в основном шероховатостью.

. Деформация шероховатого слоя

Для оценки сближения за счет деформации шероховатого слоя рассмотрим контакт жесткого гладкого шара (волны с высотой Wp и радиусом rw) с шероховатой поверхностью (рис. 6).

На основе фрактальных представлений шероховатый слой представлен в виде покрытия с переменным модулем упругости, зависящим от деформации этого слоя. На рис. 1.3 шероховатый слой как фрактальный объект характеризуется масштабом измерения в диапазоне между первым и вторым кроссоверами.

Рис. 6. Контакт шара с шероховатой поверхностью

Фрактальные объекты, имея сложную структуру, обладают физико-механическими свойствами, отличающимися от свойств материала, из которого образован сам фрактальный объект. Следует также отметить, что эффективный модуль отражает характеристику самого фрактального объекта, а не материала, из которого он состоит.

Таким образом, шероховатый слой можно представить в виде покрытия, имеющего толщину, сравнимую с высотными параметрами шероховатости, и переменный (эффективный) модуль упругости, зависящий от модуля упругости материала, относительной деформации самого слоя ε и особенностей структуры шероховатости, характеризуемый фрактальной размерностью DS.

Эффективный модуль упругости определяется выражением

гдеЕ - модуль упругости материала; 2 <DS< 3 - фрактальная размерность поверхности.

Приведем формулу, устанавливающую связь между нагрузкой на шар (в данном случае наибольшую по высоте волну), радиусом площадки контакта, фрактальной размерностью и высотой сглаживания шероховатости

 (4)

Здесь Rp - высота сглаживания; μ - коэффициент Пуассона; a - радиус площадки контакта .

С другой стороны, нагрузка на волну определяется соотношением

(5)

Решая совместно уравнения (4) и (5), найдем радиус площадки контакта и сближение αш=a2/rw за счет деформации шероховатого слоя.

Общее сближение будет равно

Необходимо иметь в виду, что данная теория применима лишь к покрытиям более податливым, чем их подложка. Полученные ранее результаты свидетельствуют о росте контурной площади контакта при наличии шероховатости по сравнению с площадью, определяемой решением Герца.

Сближение за счет деформации шероховатого слоя равно

В табл. 1 приведены числовые примеры оценки сближения при сжатии стальных поверхностей с учетом волнистости и шероховатости. Параметры волнистости: rw- радиус закругления верхней части волны; Wp -высота сглаживания волнистой поверхности; Swпр=Swпоп - шаг волны в продольном и поперечном направлениях; v; w - параметры бета-распределения. Параметры шероховатости Rp - высота сглаживания шероховатости; DS- фрактальная размерность шероховатого слоя.

Таблица 1

Оценка сближения стальных поверхностей (номинальное давление 10 МПа)