Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

А.А. Катрахова В.С. Купцов

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие по решению задач и выполнению

типовых расчетов

Воронеж 2002

УДК 517.53

Катрахова А.А. Кратные интегралы. Векторный анализ: Учеб. пособие /А.А. Катрахова, В.С. Купцов. Воронеж: ВГТУ, 2002. 101 с.

Учебное пособие является руководством к решению практических задач и выполнению типовых расчетов по разделам «Кратные интегралы. Векторный анализ» в соответствии с программой курса «Математики» для студентов инженернотехнических специальностей вузов. Оно содержит подробные решения задач и краткое изложение теоретического материала по указанным разделам.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97.0 и содержится в файле

«Integral1. rar.» и в файле «Integral2. rar.»

Табл. 1. Ил. 38. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук А.В. Глушак

Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений ВГУ; д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Баскаков

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Катрахова А.А., Купцов В.С., 2002

2

Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2002

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие содержит разбор и подробное решение типовых задач по разделам кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и векторный анализ. Содержание пособия соответствует программе курса математики для студентов инженерно-технических специальностей вузов рассчитанной на 600 часов и утвержденной Министерством образования Российской Федерации в соответствии с новыми образовательными стандартами.

Каждому практическому занятию предпосылается конспективное изложение основных сведений из теории, справочные данные и формулы, относящиеся к соответствующему разделу. После подробного разбора типовых задач различной степени трудности помещены задачи для самостоятельного решения, которые в нужных случаях снабжены указаниями и ответами. Некоторые задачи решены различными способами. Такое построение пособия предоставляет студентам широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической части курса математики.

1.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования

а) Двойной интеграл по прямоугольной области

Если область D, на которую распространяется двойной интеграл

3

прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и определяемыми уравнениями

х = а, х = b, (а х b), у = с, у = d, (с у d), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

Рис. 1.1

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул называются повторными или двухкратными.

b

В формуле (1.2) f ( x, y )dx называется внутренним и вы- a

числяется в предположении, что переменная у сохраняет на отрезке [a, b] фиксированное постоянное значение. При этом подынтегральная функция f(х, у) является функцией только одной переменной х. В результате вычисления этого интеграла получится функция переменной у.

После того, как эта функция определена, надо выполнить внешнее интегрирование под переменной у. В результате этого вторичного интегрирования получится уже не функция, а число.

Если же для вычисления двойного интеграла применяется формула (1.3), то порядок интегрирования меняется. Первое (внутреннее) интегрирование ведется по переменной у в предположении, что переменная а на отрезке [c, d] сохраняет постоянное фиксированное значение, а повторное (внешнее) интегри-

4

рование по переменной х. В результате вычисления внутреннего

d

интеграла f ( x, y )dy получится функция переменной х, а по- c

вторное интегрирование дает число.

Задача 1.1.

Вычислить двойной интеграл 6 xy2 12x2 y dxdy по об-

D

ласти D, ограниченной: х = 0; х = 1; у = 2; у = 3.

Решение. Область D

представляет собой квадрат со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 1.2). Произведем вычисление этого интеграла сначала по формуле

(1.2).

Рис.1.2

Получим:

Изменим порядок интегрирования, т.е. и вычислим внутренний интеграл по у, а внешний по х, по формуле (1.3).

Получим: