Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Область D ограничена линиями х = 0, y	3	x( x 0 ), у
	2
= 4 – (х – 1)2.

Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования.

Указание. При вычислении внутреннего интеграла по у, а внешнего по х (см. рис. 1.7) получим

2	4 ( x	1 )2	208
I	dx	x y dy		.
			15
0	3
	2 x

При вычислении внутреннего интеграла по х, а внешнего по у область надо разбить на две части ОАС и АВС (см. рис. 1.7)

и разрешить уравнение параболы				у = 4 – (х – 1)2 относительно

переменной х, получим		x	1	4 y ,	причем линия АВ опре-

деляется	уравнением x	1	4	y , а	линия ВС уравнением

x 1	4 y .

После

изменения порядка

интегрирования получим:

32 y

x y

Ответ:

208

Задача

1.6.

Вычислить

двойной

интеграл

dxdy

по

области D

D x

y 3

ограниченной прямыми:

х = 0,

х = 1, у = 0, у = 1.

Показать,

что

изменение

Рис. 1.7

порядка интегрирования приво-

дит к различным результатам и

объяснить причину этого.

Указание. а) С одной стороны

dy .

y 3

Внутренний интеграл

y 3

x 2

Ответ:

x y

б) С другой стороны

dx .

y 3

Внутренний интеграл

y 3

y 2

Ответ: I 21 .

Различные результаты вычислений объясняются тем, что в точке (0, 0) подынтегральная функция не является непрерывной.

Задача 1.7. Вычислить двойной интеграл

dxdy

по области,

ограниченной линиями

х = 0,

D x2

y2 2

= 0, х = 1, у = 1 и объяснить,

почему ответ зависит от порядка

интегрирования.

Ответ: а) I

; б) I

1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных коор-

динатах

В полярных координатах dS = rdrd

, x = rcos ,

y = rsin ,

где r – полярный радиус (0

r +

– полярный угол (0

), а двойной интеграл:

x, y dS

r cos

, r sin

rdrd .

(1.6)

Область D должна быть отнесена к полярной системе ко-

ординат (рис. 1.8).

Если

она ограничена

двумя лучами

с уравнениями

(

) и

линиями, определяемыми уравнениями r =

u1( ) и

r = u2(

), где функции u1(

) и

u2( ) непрерывна на отрезке [ ,

], одно-

Рис. 1.8

значны и

сохраняют аналитическое выра-

жение, то двойной интеграл, распростра-

ненный на эту область, вычисляется

по

Рис. 1.9

формуле (1.6):

	u2 (	)
F( r, )rdrd	d	F( r, )rdr .	(1.6)
D	u1 (	)

Интеграл, стоящий в правой части этой формулы – повторный (иначе двукратный). Во внутреннем интеграле следует рассматривать как величину постоянную.

Задача 1.8. Вычислить r 2 sin drd , где область D ог-

раничена линиями r = R и r = 2R sin .

Решение. Область D ограничена окружностями радиуса R, одна из них с центром в начале координат (r = R), а другая с центром в точке с координата-

ми (O, R) на оси ОУ (рис. 1.9). Чтобы определить, как изменяется в области D полярный угол , проведем лучи из начала координат в точки А и В. Решая систему уравнений

r R

, найдем значения

r 2R sin

угла , соответствующие лучам ОА и ОВ.

Получим 2R sin			= R; sin =	1	,			,		5	.
Получим 2R sin			= R; sin =		,	1		,	2		.
			2			1	6		2	6
			2				6			6
Таким образом,			пределы изменения полярного угла в
области D от	до	5	.
области D от	до		.
6	6
Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса в
области D. Для этого под произвольным углу									, взятым в про-
			14

межутке	,	5	проведем из полюса О луч ОР. В точке С

6		6

входа этого луча в область D r = R, а в точке Р выхода из области r = 2R sin , поэтому полярный радиус изменяется в об-

ласти D R до 2R sin .

	5		2R sin
Поэтому r 2 sin drd	6
		sin d	r 2 dr .
D			R
	6

(Мы вынесли sinза знак внутреннего интеграла, так как при вычислении внутреннего интеграла переменная сохраняет постоянное значение).

Внутренний интеграл равен

2R sin	r	3	2R sin	1			1
r 2dr					8R3 sin3	R3		R3	sin3	1
			R
R	3			3		3

Внешний интеграл равен

5			1															1		5
6			1		R	3		8 sin		3	1 sin			d				1	R	3 6		8 sin		4	sin	d
	3				R			8 sin			1 sin			d		3			R			8 sin			sin	d
	3															3
	6																				6
		8					5						1			5							R3
						3	6			4					3	6
				R		3	6		sin	4	d			R	3	6	sin			d					3 3 .
	3			R					sin		d		3	R			sin			d	12				3 3 .
	3												3								12
							6									6
					Указание. При вычислении																	sin4 d			следует использо-
вать								тригонометрические												формулы					sin2		1 cos 2	;
вать								тригонометрические												формулы					sin2	2		;
																										2
cos2							1			cos 2		.
cos2												.
										2
																			15

Источник: https://studfile.net/preview/16565876/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07