Материал: lec15
Пространство решений и пространство критериев
Пример минимизации двух функций
допустимое множество
X ={x R : x ≥ 0}
допустимое множество в пространстве критериев Y состоит из части графика, расположенной справа от вертикальной линии y1 =1
недоминируемые точки: 1 ≤ y1 ≤ 
3, 1 ≤ y2 ≤5, соответствующие решениям
x [0,2]
-6- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Линейная свертка критериев
Вместо исходной многокритериальной задачи
min( f1(x),..., f p (x))
x X
будем решать задачу с одним взвешенным критерием
minx X |
∑p |
λk fk (x) |
|
k =1 |
|
при разных значениях λk ≥ 0 и ∑p |
λk |
=1. |
k =1 |
|
|
-7- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Графическая интерпретация
При заданных λ ищем элементы множества
~ |
~ |
> = min <λ, y >} |
S(λ,Y ) ={y Y : < λ, y |
||
|
|
y Y |
y2
Y
y1 
λ |
|
< λ, y > = c |
|
y2 |
|
|
y1 |
|
|
|
1.Всегда ли такой процесс дает недоминируемые точки?
2.Если да, то все ли точки можно получить, меняя λ ?
-8- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Эффективность по Джеоффриону
Допустимое решение x X называется эффективным по Джеоффриону, если x является эффективным и существует такое положительное число M, что для любого x X, удовлетворяющего условию
fi (x) |
|
|
~ |
для некоторого i, |
||
< fi (x ) |
||||||
найдется такой индекс j, что |
|
|
~ |
|
|
|
|
f j (x ) < f j (x) и выполнено неравенство |
|||||
|
|
f |
~ |
− f |
(x ) |
|
|
|
(x ) |
|
|||
|
|
i |
|
i |
|
≤ M . |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
f j (x) − f j (x ) |
|
|||
Точка ~y = f (~x ) называется недоминируемой по Джеоффриону.
-9- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Пример.
X ={(x , x |
2 |
) R2 |
: (x −1)2 |
+(x |
2 |
−1) |
2 ≤1, 0 ≤ x , x |
2 |
≤1} |
||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
Y = X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
~ — недоминируемая точка y
x = (0, 1) не является эффективным по Джеоффриону.
-10- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |