Материал: lec15

λik ≥ 0, k = 1,…, p в сумме равные 1, т.е. ∑p

λik =1 при которых для любого

k =1

x X верно неравенство:

i

i

i

~

i

~

~

λi fi (x)

+∑λk ( fi (x) + Mfk (x)) ≥ λi fi (x ) +∑λk ( fi (x ) + Mfk (x )).

k ≠i

k ≠i

Открываем скобки:

i

i

i

i

~

i

~

i

~

λi fi (x) +∑λk fi (x) + M ∑λk fk (x) ≥λi fi (x ) +∑λk fi (x )

+ M ∑λk fk (x ).

k ≠i

k ≠i

k ≠i

k ≠i

p

p

~

~

i

i

i

i

∑λk fi (x) + M ∑λk fk (x) ≥ ∑λk fi (x ) + M ∑λk fk (x ).

k =1

k ≠i

k =1

k ≠i

-16-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Пользуясь равенством ∑p

λik =1, получаем:

k =1

i

~

i

~

fi (x) + M ∑λk

fk (x) ≥ fi (x ) + M ∑λk fk (x ).

k ≠i

k ≠i

p

p

p

p

fi (x ).

лучаем: ∑fi (x) + M ∑∑λk fi (x) ≥ ∑fi (x ) + M

∑∑λk

i

~

i

~

i=1

i=1 k ≠i

i=1

i=1 k ≠i

p

p

~x )

верно для

Отсюда следует, что ∑ 1

+ M ∑λik fk

(x) ≥∑ 1

+ M ∑λik fk (

k =1

i≠k

k =1

i≠k

p

всех x X. Поделив обе части на∑ 1+ M ∑λik , получаем нормированный

k =1

i≠k

-17-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Пример. X ={x R2

| x2

+ x2

≥1} f1(x) = x1, f2(x) = x2

≥

1

2

-18-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

min f j (x)

x X

( )

при условии

fk (x) ≤ε, k ≠ j

оптимальным решением для некоторого j. Тогда найдется x X , для кото-

~

~

~

рого f j (x) < f j (x )

и fk (x) ≤εk = fk (x ), k ≠ j, т.е. x не является эффектив-

ным по Парето.

~

Предположим,

что x X E . Тогда j и решение x X , для которых

~

~

Поэтому x не может быть оптимальным

f j (x) < f j (x ) и fk

(x) ≤ fk (x ), k ≠ j.

-19-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

y(ε1)

y(ε2)

-20-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация