Материал: lec15
Теорема. Пусть положительные величины λk, k = 1,…, p удовлетворяют равенству ∑p λk =1. Если x — оптимальное решение линейной свертки, то
k=1
x— эффективное решение по Джеоффриону.
Доказательство. Покажем, что x — эффективное решение. Пусть x′ X,
~ |
|
~ |
f (x′) ≤ f (x ) и существует индекс i такой, что |
fi (x′) < fi (x ). Т.к. λk > 0, то |
|
p |
p |
~ |
|
|
|
∑λk fk (x′) < ∑λk f (x ), |
||
k =1 |
k =1 |
|
что противоречит оптимальности x в линейной свертке.
Покажем эффективность по Джеоффриону. Положим M :=( p −1) max λλj .
ij i
Предположим, существует x X
~ − > ~ fi (x ) fi (x) M ( f j (x) − f j (x ))
и такой индекс i ≤ p, для всех индексов j, где
~
что fi (x) < fi (x ) и
~
f j (x ) < f j (x).
-11- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Тогда по выбору M получаем
~ |
p −1 |
|
|
fi (x ) − fi (x) > |
|
|
λj ( f j |
λ |
|||
|
i |
|
|
Заметим, что неравенство верно для всех j ≠
виально. Умножим это неравенство на λi ( p−1)
~ |
|
(x) − f j (x )). |
|
i, т.к. при |
~ |
f j (x ) ≥ f j (x) оно три- |
|
и сложим по всем j ≠ i:
|
|
~ |
~ |
|
λi ( fi (x ) − fi (x)) > ∑λj ( f j (x) − f j (x )) |
||
|
|
(x) > ∑λj f j |
j≠i |
~ |
|
~ |
|
Тогда λi fi (x ) −λi fi |
(x) −∑λj f j (x ), |
||
|
|
j≠i |
j≠i |
|
~ |
~ |
|
группируем λi fi (x ) +∑λj f j (x ) >λi fi (x) +∑λj f j (x). |
|||
|
|
j≠i |
j≠i |
p |
~ |
p |
~ |
|
|
||
Получаем ∑λi fi (x ) > ∑λi fi (x), что противоречит оптимальности x . ■ |
|||
i=1 |
|
i=1 |
|
Верно ли обратное утверждение?
-12- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
y2
Y
y1 
~
y
y2 |
y1 |
|
~ — недоминируемая точка y
-13- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Лемма (о свойствах выпуклых функций). Пусть X Rn — выпуклое множество и все функции hk : Rn → R выпуклые k = 1,…, p. Если система hk (x) < 0, k = 1,…, p, не имеет решений x из множества X, то существуют такие неори-
цательные величины λk, в сумме равные 1, |
|
p |
|
|
∑λk =1, λk ≥ 0 |
, что |
|
|
k =1 |
|
|
p
∑λkhk (x) ≥0 для всех x X.
k=1
Без доказательства.
-14- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |
Теорема. Пусть X Rn — выпуклая область и все функции fk :Rn → R выпуклые, k = 1,…, p. Тогда x X является эффективным решением по Джеоффриону, если и только если x — оптимальное решение линейной свертки с положительными весами λk , k = 1,…, p.
Доказательство. Проверим необходимость. Достаточность следует из предыдущей теоремы.
Пусть x — эффективное решение по Джеоффриону. Из определения следует, что существует M > 0, для которого при любом i = 1,…, p система
fi (x) < |
~ |
|
fi (x ) |
|
|
|
~ |
~ |
fi (x) + Mf j (x) < fi (x ) + Mf j (x ), j ≠i
не имеет решений.
-15- |
Лекция 15. Многокритериальная оптимизация |