Материал: lektsia_5

Приравнивая правые части уравнений (6) и (7), получаем

(8)

Таким образом, интенсивность отказов системы за время t, со­ставленной из п последовательно соединенных (логически) эле ментов, равна сумме интенсивностей отказов этих элементов за тот же срок. В период нормальной эксплуатации интенсивность

внезапных отказов постоянна и, следовательно

Для системы справедливо соотношение Λ и 1/Т_с, аналогичное соотношение Т и λ для элемента

Поскольку

(9)

То

Если система состоит из п однотипных элементов, соединен­ных последовательно, то средняя наработка до отказа

т.е. убывает обратно пропорционально числу последовательно включенных элементов. При этом вероятность безотказной ра­боты такой системы

(10)

в то время как вероятность безотказной работы одного элемента

за то же время будет . Таким образом, вероятность бе­зотказной работы системы меньше вероятности безотказной работы элемента в отношении —

Системы, имеющие логическое параллельное соединение своих п элементов, реже встречаются при расчете надежности ЭПС. Если ве­роятность безотказной работы одного элемента то веро­ятность отказа системы при параллельно соединенных однотипных элементах составит на основании выражения (5) и вероятность безотказной работы системы

Среднее время безотказной работы такой системы (средняя наработка системы до отказа)

Так как время безотказной работы одного элемента λ, на­работка такой системы всегда больше наработки одного элемента.

На практике чаще всего встречается параллельное соединение двух одинаковых элементов, которое называется дублировани­ем или нагруженным резервированием.

При дублировании элементов при λ = const

(11)

Средняя наработка дублированной системы до отказа составляет

Таким образом, средняя наработка до отказа систем при дуб­лировании элементов в 1,5 раза превышает среднюю наработку до отказа каждого элемента.

Формула (10) позволяет рассчитать вероятность безотказной ра­боты электровоза в целом в период нормальной эксплуатации, где преобладают внезапные отказы и справедлив экспоненциальный за­кон надежности. При этом предполагается, что период приработки исключен, т.е. элементы узла прошли предварительную тренировку и ненадежные отбракованы, а период усиленного износа исключен за счет своевременного ремонта или замены стареющего элемента.

2. Ненагруженное резервирование

В отличие от нагруженного резервирования (дублирования), при котором основной и резервный элементы работают одновременно, при ненагруженном резервировании работает только основной элемент, а резервный включается после его отказа (рис. 3).

Допустим, что основной и резервный элементы равнона­дежны. Вероятность безотказ­ной работы

Рисунок 3 – Схема ненагруженного резервирования: 1 – основной элемент; 2 резервный; 3 - переключатель

где 1 = 1 /T, Т—средняя наработка до отказа, т.е. распределение нара­ботки до отказа описывается экспоненциальным законом.

Рассмотрим функционирование системы, состоящей из основного и резервного элементов, с позиции теории марковских процессов .

Эта система в процессе функционирования может находиться в 3-х состояниях (рис. 4):

1. Работает основной элемент, резервный выключен.

2. Работает резервный элемент, основной отказал.

3. Отказали оба элемента.

Вероятность отказа одного элемента за время Δt равна λΔt. По­скольку рассматривается система без восстановления отказавших элементов, то после отказа резервного элемента система переходит в 3-е состояние, в котором остается с вероятностью, равной 1. Та­кое состояние называется тупиковым, или поглощающим.

Уравнения Колмогорова для рассматриваемой системы запи­сываются в виде:

Раскрыв скобки, перене­ся Pi(t) в i-м уравнении из правой части в левую, раз­делив обе части уравнения на Δt и перейдя к пределу при Δt →0, получаем сле­дующую систему диффе­ренциальных уравнений:

Рисунок 4 – Граф переходов системы с ненагруженным резервированием

Граф переходов рассматриваемой системы несвязный, так как попав в третье состояние система остается в нем и не мо­жет перейти ни в какое другое состояние, поэтому для опре­деления вероятностей состояний необходимо решить систему дифференциальных уравнений.

Задавшись начальными условиями , ре­шим систему дифференциальных уравнений операторным методом.

После преобразования Лапласа система дифференциальных уравнений превращается в систему алгебраических уравнений:

Из первого уравнения находим , из второго

уравнения

По таблицам обратного преобразования Лапласа находим оригиналы, соответствующие изображениям

Так как система работоспособна, пребывая в состоянии 1 или 2, го вероятность ее безотказной работы равна , или

Интегрируя функцию P_c(t) в пределах от 0 до °°, находим среднюю наработку до отказа системы с ненагруженным резер­вированием элементов:

Возьмем полученный интеграл по частям:

Поскольку функция стремится к 0 быстрее, чем возраста­ет t, го при подстановке верхнего предела интегрирования пер­вое слагаемое обращается в 0, а при подстановке нижнего пре­дела принимает значение 1/λ. В результате имеем:

Так как средняя наработка до отказа элемента Т = 1/λ, то

Таким образом, при ненагруженном резервировании средняя на­работка до отказа системы в 2 раза превышает среднюю наработку до отказа элемента, тогда как при нагруженном резервировании это соотношение составляет 1,5, т.е. ненагруженное резервирование обес­печивает более высокие показатели надежности, чем нагруженное.

Однако при использовании ненагруженного резервирования возможен перерыв в работе системы на время выключения отка­завшего основного и включения резервного элемента. Поэтому в тех случаях, когда по каким-либо причинам, например по ус­ловиям обеспечения безопасности, перерыв в работе системы не­допустим, применяют нагруженное резервирование.

На электровозах по схеме нагруженного резервирования ра­ботают мотор-компрессоры, а по схеме ненагруженного резер­вирования— токоприемники. Отказ основного токоприемника обнаруживается сразу по отсутствию тягового усилия и не при­водит к опасной ситуации. Если бы мотор-компрессоры были включены по схеме ненагруженного резервирования, то отказ основного мотор-компрессора мог быть не обнаружен сразу, что могло бы привести к истощению тормозной магистрали за счет утечек сжатого воздуха и созданию опасной ситуации.

3. Резервирование с восстановлением работоспособности отказавших элементов

Рассмотрим функционирование системы, состоящей из 2-х одинаковых элементов, работающих в режиме нагруженного ре­зервирования. После отказа одного из элементов немедленно на­чинается восстановление его работоспособности. Если отказав­ший элемент восстанавливается прежде, чем откажет 2-й элемент, то система возвращается в исходное состояние. Если в течение времени восстановления отказавшего элемента происходит отказ и второго элемента, то система полностью отказывает, прекра­щается ее функционирование, но при этом продолжается восста­новление работоспособности элемента, отказавшего первым. После его восстановления система вступает в работу, и одновре­менно начинается восстановление второго элемента, после его восстановления система возвращается в исходное состояние. Да­лее процесс функционирования происходит аналогично.

Допустим, что время безотказной работы обоих элементов и время восстановления их работоспособности являются случайны­ми величинами, распределенными по экспоненциальному закону.

Обозначим:

— вероятность безотказной работы одного элемента;

λ = 1 IT—интенсивность отказов;

Т—среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);

— вероятность восстановления работоспособ­ности отказавшего элемента;

— интенсивность восстановления;

Т_в — среднее время восстановления;

λΔt — вероятность отказа одного элемента за бесконечно ма­лый промежуток времени Δt;

— вероятность безотказной работы элемента за время At;

μΔt — вероятность восстановления работоспособности одно­го элемента за время Δt;

— вероятность того, что за время Δt работоспособ­ность отказавшего элемента не будет восстановлена.

При сделанных допущениях об экспоненциальном характере распределений времени безотказной работы и времени восстанов­ления процесс функционирования рассматриваемой системы яв­ляется марковским .

В процессе функционирования рассматриваемая система мо­жет находиться в следующих состояниях.

1. Оба элемента работают.

2. Один элемент работает, второй отказал и восстанавливается.

3. Оба элемента отказали, один из них восстанавливается, сис­тема отказала.

Если система находится в 1-м состоянии, то за время At она пе­рейдет во 2-е состояние при отказе одного из элементов. Если ни один из элементов не отказал, то система остается в 1-м состоянии. Вероятность безотказной работы двух элементов равна

Пренебрегая членом высшего порядка малости λ²Δt², полу­чаем, что вероятность

Вероятность отказа одного из двух элементов, т.е.