Материал: lektsia_5

Если система находится во 2-м состоянии, то:

• она перейдет в 1-е состояние, если за время At произойдет вос­становление отказавшего элемента и не откажет второй эле­мент

• она перейдет в 3-с состояние, если за время не будет вос­становлен отказавший элемент и откажет второй элемент

• она останется во 2-м состоянии, если не перейдет ни в 1-е, ни в 3-е состояние

Если система находится в 3-м состоянии, то она перейдет во 2-е, если за время At закончится восстановление работоспособ­ности элемента, отказавшего первым,

Если восстановление работоспособности отказавшего эле­мента за время Δt не закончится, то система останется в 3-м со­стоянии

Граф переходов рассмат­риваемой системы изобра­жен на рис. 5.

Уравнения Колмогоро­ва, связывающие между со­бой вероятности состояний системы в моменты t и t+ Δt, записываются в виде:

Рисунок 5 – Граф переходов системы с восстановлением отказавших элементов

После соответствующих преобразований эта система конечно­разностных уравнений превращается в систему дифференциаль­ных уравнений

Граф переходов, показанный на рис. 5, является связным, поэтому процесс функционирования рассматриваемой системы имеет установившийся режим, в котором вероятности всех со­стояний перестают зависеть от времени, принимают финальные значения, а их производные равны нулю, при этом дифференци­альные уравнения превращаются в алгебраические

Полученную систему алгебраических уравнений решаем при условии

(12)

Из первого уравнения находим

Из третьего уравнения выражаем

Полученные выражения Р₂ и подставляем в 12:

Отсюда

(13)

Рассматриваемая система находится в работоспособном состоянии и выполняет свои функции, пребывая в состояниях 1 или 2, поэтому коэффициент готовности этой системы К_г = Р₁ + Р₂, т.е.

Рассчитаем значение К_г при λ = 0,01 1/ч и u = 0,1 1/ч, т. е. каждый элемент отказывает в среднем один раз за 100 ч работы, и среднее время восстановления составляет 10 ч.

Расчет коэффициента готовности для нерезервированной системы дает значение

Расчет по формуле (13) дает значение. Таким образом, введение резервирования существенно повысило надежность системы, приблизив вероятность ее нахождения в работоспособном состоянии к 1, т.е. резервирование элементов с восстановлением работоспособности после отказа является эффективным способом повышения надежности технических объектов.

4. Логико-вероятностные методы расчета надежности систем

Рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно включенных элементов (рис. 6). Вероятность безотказной работы первого элемента обозначим Р₁, второго — Р₂ (здесь для сокращения записи опущены символы аргумента времени t).

Работоспособность всей системы обеспечивают следующие сочетания состояний элементов.

1. Первый элемент работает, а второй отказал. Вероятность этого сочетания равна Р₁ (1 - Р₂).

2. Первый элемент отказал, а второй работает. Вероятность этого сочетания (1 - Р₁)Р₂

3. Оба элемента работают. Вероятность этого сочетания равна Р₁ Р₂-

Рисунок 6 – Параллельное соединение двух элементов

Вероятность безотказной работы системы равна сумме вероятностей тех сочетаний состояний элементов, при которых обеспечивается работоспособное состояние системы

Расчет по формуле (4) дает такое же выражение вероятности безотказной работы системы

Таким образом, для расчета вероятности безотказной работы (далее для краткости — надежности) сложной системы достаточно рассмотреть все возможные сочетания состояний элементов системы, выбрать те сочетания, которые обеспечивают работоспособное состояние системы, записать вероятности каждого из этих сочетаний в виде произведения вероятностей состояний всех элементов в данном сочетании, причем вероятность работоспособного состояния элемента равна вероятности его безотказной работы P_i, а вероятность неработоспособного состояния — вероятности отказа (1 - P_i). Полученное произведение называется элементарным. Для записи выражения вероятности безотказной работы системы складываются все элементарные произведения.

Чтобы избежать ошибок при большом числе элементов и сложной структуры системы, описанную процедуру формулируют с помощью математического аппарата алгебры логики — булевой алгебры .

В булевой алгебре переменные х принимают два значения: 1 или 0.

При анализе надежности системы каждому ее элементу ставится в соответствие переменная х_i, значение которой определяется состоянием элемента:

Состояние системы описывается переменной у, причем

Если система состоит из п элементов, то общее число различных сочетаний состояний элементов (наборов значений переменных х_i) равно 2". Перебор всех наборов значений переменных х_i осуществляется путем построения таблицы состояний, которая для системы, показанной на рис. 6, имеет следующий вид (табл. 4):

Таблица 4

№ набора	Значения переменных
	x1	х2	y
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	I
3	1	1	1

Поскольку в рассматриваемой системе число элементов п = 2, то число разных наборов значений переменных х_i равно 2² = 4.

Перебор всех наборов начинают с набора с номером 0, в котором все переменные х_i принимают нулевые значения.

Полученное сочетание значений переменных x_i (в рассматриваемом примере 0) интерпретируют как число, записанное в двоичной системе. Переход к следующему набору осуществляется прибавлением 1 к данному числу: 00 + 1 =01. Сложение ведется по правилам двоичной системы, где 0 + 0 = 0, 0+1 = 1, 1+0=1, 1 + 1 = 10, т.е. 0 записывается в младший разряд суммы, а 1 прибавляется к содержимому старшего разряда. Таким образом, набору с номером 1 соответствует двоичное число 01.

Для перехода к следующему — второму набору к числу 01 прибавляют 1, при этом единица плюсуется в младший разряд, где записано значение 1. Поскольку 1 + 1 = 10, то в младшем разряде записывается 0, а 1 плюсуется к содержимому старшего разряда, где записан 0. Так как 0 + 1 = 1, то в результате сложения получаем число 10. Последний, третий набор переменных получается сложением чисел 10+1 = 11.

Перебирая все наборы переменных х_i, определяем значение переменной у, соответствующее каждому из них. В рассмотренном примере 0-му набору соответствует у = 0, а наборам 1, 2 и 3 — у = 1.

Для каждого набора, на котором y = 1, записывают элементарные произведения вероятностей состояний элементов, причем если х_i входит в набор как 1, то в элементарном произведении записывается вероятность безотказной работы этого элемента а если значение переменной x_i = 0, то в элементарное произведение входит вероятность отказа элемента (1 - P_i).

Для получения вероятности безотказной работы системы складывают элементарные произведения вероятностей состояний элементов.

В рассматриваемом примере выходная переменная у = 1 на наборах 1, 2 и 3, которым соответствуют элементарные произведения (1 - Р₁)Р2, Р₁ (1 - Р2) и Р₁ Р₂

Вероятность безотказной работы системы равна

Р_с = Р ₁(1 - Р₂) + (1 - Р₁)Р₂ + Р₁Р₂ = Р₁ + Р₂ - Р₁ Р₂

Полученное выражение в точности соответствует рассчитанным по формуле (4).

Несмотря на некоторую громоздкость, логико-вероятностные методы оказываются единственно возможными при расчете надежности систем, структуру которых нельзя представить в виде сочетания групп последовательно и параллельно соединенных элементов.

Рисунок 7 - Соединение элементов по мостовой схеме

Пример. Рассчитать надежность (вероятность безотказной работы) системы, показанной на рис. 7, в которой элементы соединены по мостовой схеме.

Мостовую схему нельзя представить в виде групп последовательно и параллельно включенных элементов, поэтому используем логико-вероятностные методы.

Таблица состояний для системы, представленной на рис. 7, имеет следующий вид (табл. 5):

Таблица 5

Номер набора	Значения переменных
	x1	x2	x3	x4	x5	y
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	0
2	0	0	0	1	0	0
3	0	0	0	1	1	0
4	0	0	1	0	0	0
5	0	0	1	0	1	0
6	0	0	1	1	0	1
7	0	0	1	1	1	1
8	0	1	0	0	0	0
9	0	1	0	0	1	0
10	0	1	0	1	0	0
11	0	1	0	1	1	0
12	0	1	1	0	0	0
13	0	1	1	0	1	1
14	0	1	1	1	0	1
15	0	1	1	1	1	1
16	1	0	0	0	0	0
17	1	0	0	0	1	0
18	1	0	0	1	0	0
19	1	0	0	1	1	1
20	1	0	1	0	0	0
21	1	0	1	0	1	0
22	1	0	1	1	0	1
23	1	0	1	1	1	1
24	1	1	0	0	0	1
25	1	1	0	0	1	1
26	1	1	0	1	0	1
27	1	1	0	1	1	1
28	1	1	1	0	0	1
29	1	1	1	0	1	1
30	1	1	1	1	0	1
31	1	1	1	1	1	1