Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования
Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Германюк Галина Юрьевна
Ижевск - 2010
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»
Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Морозов Евгений Александрович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Карпов Александр Иванович, г. Ижевск
доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович, г. Пермь
Ведущая организация: Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН, г. Москва
Общая характеристика работы
Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.
В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка , что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.
Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.
В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.
В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.
Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.
Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.
Цель работы - математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.
3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.
4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.
Методы исследования
в работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.
Достоверность и обоснованность полученных результатов
Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.
На защиту выносятся:
1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.
3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.
4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:
1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.
2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.
3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.
4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.
5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
Научная апробация результатов исследования
Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007г.), на 6 - ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 2010г), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).
Практическая значимость и реализация результатов исследования
Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.
Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.
Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований, приложения. Работа изложена на 144-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.
На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.
Во второй главе обосновывается возможность использования канонического метода численного интегрирования для исследования динамики ансамблей частиц, определяется условие поведения системы в форме обращения времени и исследуется влияние консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами этого метода в линейных и нелинейных системах.
Проанализирована возможность использования канонического метода численного интегрирования в исследовании движения ансамбля частиц. Как было отмечено в актуальности исследования, сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением. Таким образом, компьютерные модели, использующие канонический метод численного интегрирования, позволили исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать эволюционные процессы.
Для исследования влияния консервативных возмущений было рассмотрено использование канонического метода численного интегрирования в динамических уравнениях гармонического осциллятора (линейная система) и математического маятника (нелинейная система), с одной степенью свободы n=1.
Функция Гамильтона и уравнения движения для гармонического осциллятора (1) и математического маятника (2) запишутся в виде:
(1)
(2)
Для ансамбля Гиббса , где - число частиц.
Использование канонического метода численного интегрирования позволило исследовать этот вопрос численными методами, в том числе визуально, с помощью графических приложений на экране компьютера.
Для численного интегрирования систем (1) и (2), был использован алгоритм вида импульс-координата:
(3)
(4)
где - шаг интегрирования и .
Было показано, что алгоритмы (3) и (4) осуществляют каноническое преобразование точек фазового пространства. Фундаментальным свойством таких преобразований, в соответствии с утверждением Лиувилля, является сохранение фазового объёма, действительно якобиан преобразований (3), (4) равен 1, следовательно, преобразования являются каноническими, а - параметром консервативного возмущения.
Известно, что реальные механические процессы необратимы во времени, а процессы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений (Ньютона, Лагранжа, Гамильтона), инвариантны относительно преобразования . Канонический метод численного интегрирования позволяет исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать обратимость динамических процессов во времени.
Было проанализировано движение невзаимодействующих между собой частиц вида (1) и частиц вида (2), с начальными условиями для гармонического осциллятора и для математического маятника.
На рисунке 1 показаны последовательные положения ансамбля на экране компьютера в течение времени, соответствующего шагам интегрирования в направлении протекания времени, и столько же шагов при обращении времени.
Как видно из рисунка 1б, каноническое возмущение, вызванное процессом численного интегрирования, не нарушает детерминированности процесса - ансамбль возвращается в первоначальное положение после обращения времени.
математическое моделирование ансамбль частица
а) б)
Рисунок 1 - Движение ансамбля частиц по каноническому методу: а) в прямом направлении течения времени; б) при обращении времени
Аналогичные исследования влияния малых консервативных возмущений при прочих равных условиях были проведены на нелинейных системах (математический маятник), в течение времени, соответствующему шагам интегрирования.
На рисунке 2 изображено положение ансамбля в случае прямого направления времени. Как видно из рисунков, вследствие замедления движения системы при приближении к сепаратрисе, ансамбль начинает приобретать характерную спиралевидную форму для точек, лежащих ниже сепаратрисы. На сепаратрисе происходит разрыв, и точки, лежащие выше сепаратрисы, переходят во вращательное движение. Вблизи сепаратрисы движение приобретает неупорядоченный характер, что видно из рисунка 2д,е.
а) б)
в) г)
д) е)
Рисунок 2 - Движение ансамбля частиц математического маятника: