а) за шагов; б) за шагов; в) за шагов; г) за шагов;
д) за шагов; е) за шагов
Воспользуемся условием обращения времени, рисунок 3. На рисунке 3(а) показано положение ансамбля в момент времени, соответствующему шагам интегрирования. Видно, что точки, находящиеся в окрестности сепаратрисы не возвращаются в первоначальное состояние. Очевидно, что в окрестности сепаратрисы система не только не возвращается в состояние порядка, но неупорядоченные процессы продолжают развиваться, рисунок 3б.
Таким образом, в консервативных нелинейных системах наличие консервативных возмущений приводит к возникновению и развитию неупорядоченных процессов.
а) б)
Рисунок 3 - Движение ансамбля частиц математического маятника при обращении времени:
а) за время соответствующее шагам интегрирования;
б) за время соответствующее шагам интегрирования
Для исследования влияния консервативных возмущений на движение двухмерного фазового ансамбля был рассмотрен ансамбль Гиббса из невзаимодействующих частиц в потенциальном поле Тода.
Вид потенциала Тода приведён на рисунке 4.
Рисунок 4 - Уровни потенциальной энергии
Функция Гамильтона и уравнения движения в безразмерном виде запишутся:
(5)
где .
Особенность системы (5) заключается в том, что, как и в случае математического маятника, движение вблизи начала координат будет иметь линейный характер (рис.4).
Как известно из теории, при система будет интегрируема, а при система неинтегрируемая.
Как и в случае гармонического осциллятора и математического маятника, запишем алгоритм импульс-координата, для системы (5) в виде:
где - шаг интегрирования.
В начальный момент времени ансамбль Гиббса располагался в начале координат и образовывал квадрат со стороной ед. и расстоянием между частицами ед..
Пусть система интегрируема: и , общее время работы, соответствует шагам интегрирования. На рисунке 5а представлено последовательное положение ансамбля. Как видно, квадрат сохраняет форму и периодически возвращается в начальное состояние, рисунок 5б. Данный случай соответствует линейным системам.
Рассмотрена эволюция системы при увеличении степени нелинейности с начальным значением импульсов и и прочих равных условиях. На рисунке 6 представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, при течении времени в положительном направлении (рис.6а) и при обращении времени (рис.6б).
а) б)
Рисунок 5 - Движение ансамбля из частицы в условиях линейного потенциала:
а) движение ансамбля в положительном направлении течении времени;
б) возвращение в начальное положение при обращении времени
Как видно, система не возвращается в исходное положение при обращении времени и наблюдается возникновение и развитие неупорядоченных процессов. Более детальный анализ показывает, что они развиваются линейно.
а) б)
Рисунок 6 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:
а) фазовая траектория в интервале от дошагов интегрирования; б) положение ансамбля при обращении времени через шагов
Рассмотрим неинтегрируемый случай, соответствующий: , и ; при прочих равных условиях. На рисунке 7 так же представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, в положительном направлении течения времени и при обращении времени соответственно.
а) б)
Рисунок 7 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:
а) фазовая траектория в интервале от дошагов интегрирования; б) положение ансамбля при обращении времени через шагов
Из рисунков видно, что в неинтегрируемых системах неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее, в отличие от интегрируемых, где они возрастают линейно. Для сравнительного анализа, одним из предположений можно использовать качественную оценку фазовой траектории ансамбля, на рисунках 6а и 7а. Из рисунка 6а видно, что наблюдается сохранение некоторого порядка, обусловленного наличием интеграла движения. Для неинтегрируемых систем за тот же интервал времени (рис.7а) наблюдается отсутствие регулярности в повторении траектории, и интенсивность контрастности рисунков неоднородна.
Полученные результаты ещё раз показывают, что нелинейность системы и действие малых консервативных возмущений приводят к возникновению и развитию неупорядочных процессов.
Третья глава посвящена описанию программного комплекса для исследования движения одномерного ансамбля при различных начальных условиях и условиях попарного межчастичного взаимодействия, созданного на основе использования канонического метода численного интегрирования (рис.9).
Программный комплекс состоит из трёх подсистем:
· Подсистема моделирования
· Подсистема просмотра результатов
· Подсистема модификации
Рисунок 9 - Структура программного комплекса
Подсистема моделирования позволяет построить компьютерные модели и произвести компьютерный эксперимент на основе канонических алгоритмов интегрирования и состоит из следующих модулей:
· Модуль описания модели - задаёт характеристики динамических систем и её начальные параметры (схема интегрирования).
· Модуль формирования эксперимента - на основе описанной модели создаёт программу для проведения компьютерного эксперимента.
· Модуль проведения эксперимента - проводит интегрирование модели на основе алгоритма интегрирования и передаёт полученный численный результат в подсистему модификации и в подсистему просмотра результатов.
Подсистема модификации позволяет вычислять среднюю потенциальную и среднюю кинетическую энергию и гамильтониан, используя данные, полученные в результате эксперимента. Так как процесс функционирования модификатора описан заранее, это обеспечивает его удобный вызов посредством одной кнопки, что экономит время оператора и системы. Результатом модификатора является новый набор данных, которые незамедлительно выводятся на экран. Модификатор состоит из следующих модулей:
· Модуль расчёта потенциальной энергии - производит вычисление средней потенциальной энергии системы по формуле:
.
· Модуль расчёта кинетической энергии - производит вычисление средней кинетической энергии системы по формуле: .
· Модуль расчёта гамильтониана - производит вычисление суммы кинетической и потенциальной энергий системы по формуле: .
· Дамп. Выводит на экран значения всех параметров в текущий момент времени.
Подсистема просмотра результатов предоставляет инструменты для демонстрации числовых данных, полученных в результате проведения эксперимента и состоит из следующих модулей:
· Модуль загрузки данных - позволяет загрузить данные из файла на носителе в память программы.
· Модуль вывода на экран - выводит различные зависимости в виде графиков или отображает фактические значения параметров.
· Модуль сохранения изображения - позволяет сохранять графики в файл для дальнейшего использования.
Как и в натурном эксперименте предусмотрена возможность разделения процесса проведения эксперимента и анализ его результатов. Поэтому основной комплекс вычислительных операций осуществляется в автоматическом режиме без участия оператора в удобное (например, ночное) время. После этого экспериментатор может просмотреть полученные результаты в ускоренном режиме.
В программном комплексе решаются следующие задачи:
1. Ввод исходных данных для моделирования системы.
2. Проверка правильности введённых данных.
3. Проведение компьютерного эксперимента на основе математической модели.
4. Представление результатов эксперимента в виде графиков и таблиц.
В четвёртой главе приводятся результаты работы программного комплекса по исследованию движения одномерного ансамбля, включающего от до частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия, и общая методика проведения компьютерного исследования одномерных систем.
Как известно, существуют два подхода в исследовании атомно-молекулярных систем: статистический и динамический.
Одной из отличительных особенностей в использовании подходов является трактовка физического смысла величин, характеризующих состояние системы. Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных характеристик системы - температуру.
С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения частиц тела и для одноатомных газов имеет вид:
, (9)
где - абсолютная температура в Кельвинах, - постоянная Больцмана.
Термодинамический и статистический подходы позволяют исследовать системы исключительно в равновесном состоянии.
Однако, как было отмечено выше, эволюционные процессы могут протекать лишь в неравновесных состояниях системы. В этой связи удобно использовать понятие температуры как внутреннюю характеристику системы.
Термодинамическая температура как мера средней кинетической энергии частиц системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.
Динамическая температура как мера средней кинетической энергии системы в неравновесном состоянии.
Во втором случае изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки поведения системы в условиях парного взаимодействия.
Определим динамическую температуру, выраженную в Кельвинах через текущую среднюю кинетическую энергию, выраженную в безразмерных единицах.
Безразмерная средняя кинетическая энергия для частицы запишется в виде:
Обратная связь со шкалой Кельвина выразится в виде:
(10)
где - значение минимума потенциальной энергии в потенциале Леннарда-Джонса.
Пусть имеется одномерная молекулярная система из - взаимодействующих частиц, совершающих продольные движения вдоль оси . В качестве потенциала попарного межчастичного взаимодействия будем использовать потенциал Леннарда-Джонса. Функция Гамильтона и динамические уравнения для ансамбля взаимодействующих частиц запишутся в виде:
(11)
Для исследования влияния консервативных возмущений воспользуемся алгоритмом импульс-координата, общее время работы соответствует шагам интегрирования:
где ; - шаг интегрирования.
Очевидно, что при малых значениях энергии частицы будут совершать колебания вблизи устойчивого положения равновесия, на основе программного комплекса была исследована динамическая температура. График зависимости динамической температуры от числа частиц в системе, в частности для инертного газа представлен на рисунке 10.
Рисунок 10 - Зависимость динамической температуры от числа частиц для инертного газа
Из графика видно, что увеличение числа частиц приводит к стремлению динамической температуры к некоторому фиксированному значению.
Рассмотрено влияние консервативных возмущений на движение ансамблей частиц вблизи положения равновесия, в частности, приведены результаты исследования для ансамбля из частицы. В качестве начальных условий использовались значения:
(12)
где ,.
График средней кинетической энергии ансамбля представлен на рисунке 11.
Рисунок 11 - График колебания средней кинетической энергии во времени для ансамбля из частицы
Из графика видно, что средняя кинетическая энергия совершает колебания с постоянной амплитудой. Это означает наличие упорядоченного движения в системе, которое определяется в форме двух волн (рис.12). И при обращении времени система возвращается в положение равновесия. Это говорит об устойчивости системы к влиянию консервативных возмущений вблизи положения равновесия.
Рисунок 12 - Фазовая траектория ансамбля из частицы
Как было показано на предыдущих моделях, причиной возникновения и развития неупорядоченных процессов является нелинейность системы и действие консервативных возмущений. Возникает вопрос, как будет вести рассматриваемая система в условиях нелинейности. Поскольку исследование вопросов перехода детерминированных процессов в неупорядоченные необходимо осуществлять каким-либо упорядоченным образом, для этого был предложен метод импульсной передачи энергии крайним частицам. Упорядоченная передача энергии состоит в том, что крайним частицам сообщён начальный импульс, отличный от нуля: , где - начальный импульс, передаваемый системе в начальный момент времени . При таких условиях консервативность системы не нарушается, иными словами, был осуществлён консервативный нагрев. Начальный импульс крайних частиц ансамблей последовательно увеличивали от до с шагом . Обращением времени определялось поведение системы.
Анализы работы программного комплекса по исследованию поведения ансамбля при консервативном нагреве представлены в таблице 1, в частности, для неона .