Материал: Мерзликин Г.Я. Основы теории ядерных реакторов. Курс для эксплуатационного персонала АЭС

где То, T1, T2, ... , T6 - значения семи корней уравнения обратных часов, а Ao, A1, A2, ... , A6 - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение (12.19) конкретных начальных условий.

Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде (см. рис.12.3).

Рис,12.3. График зависимости корней уравнения обратных часов при положительных и отрицательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1/Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.

Как видим, функция ρ = f(1/T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/То лежит правее первой точки разрыва (- λ1), первый обратный корень 1/Т1 - между первой и второй точками разрыва (-λ1 и -λ2), второй обратный корень 1/T2 - между второй и третьей точками разрыва (-λ2 и -λ3 ) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т7 - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва (-λ6).

При этом знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности ρ.

Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/То , а, значит, и сам корень То, - положителен (так как располагается в правой полуплоскости, правее оси О - ρ). Остальные шесть корней (Т1 ÷ Т6) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости). Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивности ρ.

Теперь о знаках постоянных интегрирования (Ао ÷ А6). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

Квадраты в выражении в скобках под знаком суммы, независимо от знака корня Тi , всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменатель (12.20) - всегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования Аi всегда определяется знаком произведения ρТi в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень То при ρ > 0, как говорилось выше, положителен (То > 0), то произведение ρТо > 0, а, следовательно, Ао > 0. При отрицательной же величине реактивности (ρ < 0) произведение отрицательного нулевого корня То на отрицательную величину реактивности ρ даёт положительную величину произведения ρТо, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу:

при ρ<0: все 7 корней (То÷Т6)<0, а постоянные интегрирования (Ао÷А6)>0

(12.22)

б) Самостоятельное практическое значение решения уравнения обратных часов.

Анализ знаков корней уравнения обратных часов и постоянных интегрирования безусловно важен, так как он даёт возможность выявить качественную структуру и дать физическое толкование характеру переходных процессов при сообщении реактору реактивности того или иного знака.

Но значение уравнения обратных часов не исчерпывается только этим. Забегая немного вперёд, заметим, что из семи корней уравнения обратных часов старший корень То (старший - в математическом понимании этого слова, то есть - наибольший по абсолютной величине) имеет простое физическое толкование: это - тот самый уста-

новившийся период, определяющий “ чисто экспоненциальное” изменение плотности

нейтронов в реакторе в развитой стадии переходного процесса n(t). (Почему это так,

станет ясно немного позже).

ρ,%

а) График

0.3

0.2

0.1

Рис. 12.2. Две наглядные формы отображения взаимосвязи реактивности реактора ρ и установившегося периода удвоения мощности реактора Т2 , вытекающие из решения уравнения обратных часов.

Эту величину установившегося периода, как уже говорилось, легко измерить практически с помощью самого обычного секундомера. Вместе с тем, величина установившегося периода (То) для конкретного реактора в рассматриваемый момент кампании определяется только величиной сообщённой реактору реактивности ρ, следовательно, уравнение обратных часов для конкретного реактора (с конкретной величиной βэ) устанавливает жёсткую однозначную взаимосвязь величин реактивности ρ и установившегося периода То (или ρ - с величиной установившегося периода удвоения мощности реактора Т2, которая, как мы знаем, пропорциональна величине установившегося

периода То).

А это значит, что по величине измеренного установившегося периода удвоения мощности можно находить величину сообщённой реактору реактивности, и, наоборот, - по величине сообщённой реактору реактивности можно предсказывать, с каким установившимся периодом удвоения будет происходить установившийся разгон (или спад) мощности ядерного реактора. Это, согласитесь, практически очень важно для оператора реакторной установки. Эту взаимосвязь можно занести в программу компьютера, можно выразить в форме таблицы или в форме графика.

Пользуясь приведенными таблицей или графиком, оператор имеет возможность быстро оценить величину реактивности реактора по измеренному периоду удвоения мощности или предсказать величину установившегося периода разгона реактора по величине реактивности, которую он собирается сообщить реактору.

12.2. Переходные процессы при сообщении реактору отрицательной реактивности

12.2.1. Характер переходных процессов n(t) при ρ < 0. Так как при сообщении ре-

актору отрицательной реактивности все семь корней уравнения обратных часов отрицательны, это означает, что общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики представляет собой алгебраическую сумму семи убывающих экспонент (любая экспонента с отрицательным показателем - убывающая). А поскольку (см. условие (12.22)) все без исключения постоянные интегрирования Аi в случае отрицательной реактивности положительны, то можно выразиться более точно: при отрицательной реактивности решение системы дифференциальных уравнений кинетики есть арифметическая сумма семи убывающих экспонент, и если обозначать через Тi абсолютную величину корней уравнения обратных часов, то:

Геометрическое суммирование семи убывающих экспонент показано (качественно) на рис.12.2. Как видим, переходный процесс n(t) в “ холодном” реакторе имеет уже не тот моноэкспоненциальный вид, который получался из решения элементарного уравнения кинетики. Здесь хорошо просматриваются две стадии развития переходного процесса, свойственные реальным переходным процессам во всех реакторах, а именно, - стадия начального скачка, продолжительность которой определяется временем, в течение которого шесть младших экспонент спадают до практического нуля, и стадия чисто экспоненциального спада плотности нейтронов, определяемая старшей, экспонентой Ао exp(- t/To), показатель которой обратно пропорционален наибольшему по абсолютной величине корню уравнения обратных часов.

Теперь смысл названия установившегося периода То должен быть до конца ясен.

Зависимость любого (переходного) периода Тi при отрицательной величине сообщаемой реактору реактивности имеет обратный характер: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем меньше абсолютная величина любого из корней уравнения обратных часов Тi (что очень наглядно иллюстрирует график решения уравнения обратных часов).

n(t)

no

Начальный скачок

n0

Ao

Экспоненциальный спад плотности нейтронов с установившимся периодом Т0

A0 exp(t/T0)

A1

A1 exp(t/T1)

A2

A3 A2 exp(t/T2)

A4

A5

A6

Рис.12.3. Экспоненциальные составляющие переходного процесса n(t) при скачкообразном сообщении критическому реактору отрицательной реактивности. (Очевидное нарушение масштаба изображения вдоль оси 0 – n допущено намеренно, с целью большей качественной наглядности).

Иными словами: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем больше абсолютная величина начального скачка.

Нелинейный характер начальной стадии переходного процесса ещё более наглядно иллюстрируется графиком зависимости, построенным в полулогарифмической системе координат для различных значений отрицательной реактивности (рис.12.4).

Ln n(t)

ln no

Рис.12.4. Качественный вид переходных процессов n(t) в полулогарифмической системе координат.

Логарифмирование экспоненциальной функции даёт, как известно, линейную зависимость, изображаемую прямой линией, угловой коэффициент которой численно равен постоянному сомножителю в показателе экспоненты, то есть, в данном случае, - величине (-1/То). Поэтому в полулогарифмической системе координат прямой линией изображается только вторая, чисто экспоненциальная стадия переходного процесса n(t), а на стадии начального скачка переходный процесс выглядит нелинейным.

Наличие стадии начального скачка в переходном процессе n(t) физически объясняется тем, что при скачкообразном сообщении критическому реактору отрицательной реактивности первыми всегда реагируют на это возмущение мгновенные нейтроны: резко уменьшается скорость генерации и резко возрастает скорость их поглощения.

И если бы к моменту введения отрицательной реактивности в реакторе не были бы накоплены достаточно большие стационарные концентрации предшественников запаздывающих нейтронов всех групп, процесс начального спада n(t) происходил бы во много раз быстрее (поскольку время жизни мгновенных нейтронов во много раз меньше времени жизни запаздывающих нейтронов любой группы).

То есть это был бы практически безынерционный бросок n(t) вниз, почти синхронно отслеживающий уменьшение величины коэффициента размножения на мгновенных нейтронах. Но предшественники запаздывающих нейтронов в реакторе есть, и их стационарные концентрации в критическом реакторе достаточно высоки, а это значит, что в первые секунды начального скачка достаточно высоки и скорости их β- распада (вспомните: dCi/dt = - λiCi), а, значит, вначале высоки и скорости генерации запаздывающих нейтронов всех групп, и получается, что эти добавки запаздывающих нейтронов в общий цикл размножения тормозят общее падение плотности нейтронов n(t), которое без них было бы очень резким.

Но поскольку с уменьшением n(t) синхронно уменьшается и скорость деления ядер топлива, то с той же синхронностью уменьшается и скорость генерации предшественников запаздывающих нейтронов всех групп, а с некоторым запаздыванием - и скорость генерации излучателей запаздывающих нейтронов. Скорость уменьшения концентраций ядер-предшественников запаздывающих нейтронов не может стать ниже скорости их β-распада (равной λiCi(t)). Следовательно, экспоненциальный процесс снижения концентрации предшественников каждой группы (надеюсь, у Вас нет сомнений, что он чисто экспоненциальный: ведь решения 6 уравнений для концентраций были найдены в виде Ci(t) = Coi exp(-t/Ti)) не может идти с периодом, меньшим, чем период распада предшественников каждой группы (равный 1/λi).

Поэтому понятным становится и физический смысл величины переходного периода Тi: это - периоды экспоненциальных процессов Сi(t), описывающих переходы величин концентраций предшественников запаздывающих нейтронов от одного стационарного значения (Соi) до другого, соответствующего концу переходного процесса Сi(t). В частности, судя по виду решения, конечной концентрацией предшественников запаздывающих нейтронов может быть и нулевая их концентрация.

Примечание. Обратим внимание с самого начала на эту “ несуразицу”: при любом значении сообщаемой реактору отрицательной реактивности концентрации предшественников запаздывающих нейтронов устремляются к нулю, то есть, в соответствии с известным правилом, через (4 ÷ 5) периодов Тi величины концентраций Сi должны обратиться в практический ноль. Объяснение этому будет дано при рассмотрении кинетики подкритического реактора с независимым источником нейтронов.

И лишь тогда, когда скорость снижения n(t) ” вплотную” снизится до скорости β- распада предшественников самой долгоживущей (первой) группы, переходный процесс n(t) плавно переходит во вторую (чисто экспоненциальную) стадию уменьшения плотности нейтронов с установившимся периодом То.