Материал: Мерзликин Г.Я. Основы теории ядерных реакторов. Курс для эксплуатационного персонала АЭС

ρ* > 0

ρ* < 0

0 t

Рис.12.2. Характер реального процесса сообщения реактору положительной и отрицательной реактивности во времени за счёт перемещения подвижного стержня-поглотителя в реакторе из критического положения.

12.1. Система дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом шести групп запаздывающих нейтронов.

Очевидно, что плотность тепловых нейтронов, полученных в результате замедления в любом микрообъёме активной зоны в любой момент времени всегда равна сумме плотностей тепловых нейтронов, полученных в результате замедления мгновенных и запаздывающих нейтронов.

n(t) = nм(t) + nз(t).

Из этой очевидности вытекает и другая: так как производная суммы двух функ-

На основе этого равенства и построен вывод первого из системы дифференциальных уравнений кинетики реактора - уравнения скорости изменения плотности нейтронов в реакторе.

Примечание. Впредь, говоря о плотности тепловых нейтронов, получаемых в результате замедления мгновенных (или запаздывающих) нейтронов, будем выражаться кратко: “ плотность мгновенных (запаздывающих) нейтронов”, оговаривая лишь случаи, когда использование таких кратких выражений приводит к двусмысленному пониманию их.

12.1.1. Дифференциальное уравнение скорости изменения плотности нейтронов.

Используя один из простейших приёмов математической физики, величину эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе можно представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых словно бы отдельно ответственно за размножение мгновенных и запаздывающих нейтронов:

где kэм = kэ ( 1 - βэ ) - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом раз-

множения на мгновенных нейтронах, а

kэз = kэ βэ - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размно-

жения на запаздывающих нейтронах.

Величина βэ - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов):

6

βэ = ∑βэi .

i=1

Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения (δkэ = kэ -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах, величина которого будет равна:

Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо δkэ - подставить величину δkэм ≈ ρ - βэ, а вместо

Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что

δkэм = δkэ - kэβэ = kэ [(δkэ / kэ) - βэ] = kэ (ρ - βэ),

но, как уже не раз отмечалось, величина kэ в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более, чем на 0.002, поэтому величина kэ без заметного ущерба для точности может быть принята равной единице.

.Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dnз /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.

Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна Сi. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить β-распад этих предшественников со скоростью λiCi (где λi - постоянная β-распада предшественников i-ой группы). Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться λiCi ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон, величина λiCi является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.

Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем из них ежесекундно рождалось бы столько же тепловых нейтронов, но если учесть, что из всех их только (рзϕ)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться λiCi pзϕ тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет очевидно равна

называется эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта ве-

личина, введённая в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запазды-

вающих нейтронов i-ой группы, если бы утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.

Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4) исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:

Это уравнение является неопределённым, так как, кроме основной неизвестной функции n(t) оно содержит ещё шесть неизвестных функций - временных зависимостей эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов всех шести групп. Поэтому для того, чтобы получить конкретное решение, необходимо замкнуть систему, то есть присоединить к (12.7) ещё, как минимум, шесть дифференциальных уравнений, в которых функции сi(t) фигурировали бы независимым от уравнения (12.7) образом.

12.1.2. Дифференциальные уравнения скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов шести групп. Логический вид этих шести уравнений одинаков:

dCi/dt = (скорость генерации предшественников i-ой группы) - (скорость их β-распада). (12.8)

Первое слагаемое правой части (12.8) получается из следующих рассуждений. Если n(t) - средняя по объёму активной зоны плотность тепловых нейтронов в некоторый произвольный момент времени t, то через промежуток времени, равный среднему времени жизни поколения мгновенных нейтронов l плотность нейтронов станет равной kэn(t) (что следует из определения эффективного коэффициента размножения kэ). Эти тепловые нейтроны очередного поколения получены в результате замедления быстрых нейтронов, исходное число которых в единичном объёме активной зоны было равно kэ n /pз ϕ, то есть рождались эти нейтроны со средней скоростью kэn / pзϕ l в каждом см3 активной зоны за 1 с. Но среди всех этих быстрых нейтронов βi-ая часть рождались как запаздывающие нейтроны i-ой группы, а поскольку каждый запаздывающий нейтрон i-ой группы испускался одним излучателем, а каждый излучатель получался в результате β-распада одного предшественника i-ой группы, то из этого следует, что скорость генерации предшественников i-ой группы составляет kэn βэi / pзϕ l ядер/см3 с. Такова величина первого слагаемого правой части логического уравнения (12.8).

Со вторым слагаемым этого уравнения дело обстоит значительно проще: в соответствии с известным законом радиоактивного распада скорость β-распада предшественников i-ой группы определяется только наличной в данный момент времени концентрацией их Сi, то есть равна λiCi.

Поэтому искомое дифференциальное уравнение для скорости изменения действительной концентрации предшественников i-ой группы будет:

а если, руководствуясь формулой (12.6), перейти к эффективным концентрациям предшественников любой группы, и полагая, что, как и в предыдущем выводе, kэ ≈ 1, то:

Таков общий вид шести дифференциальных уравнений для скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов 6 групп.

Таким образом, полная замкнутая система семи дифференциальных уравнений

Уравнение (12.18) по отношению к уравнению (12.10) является характеристиче-

ским и называется уравнением обратных часов (УОЧ).

Замечание. Получена, строго говоря, приближённая форма уравнения обратных часов, поскольку в процессе его вывода было принято одно допущение: предполагалось, что величина эффективного коэффициента размножения kэ очень мало отличается от единицы, в связи с чем допускалось, что ρ ≈ δkэ. Эта натяжка незначительно влияет на точность решения и не меняет качественного характера решения системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, но даёт возможность при этом значительно сократить объём математических преобразований при выводе уравнения обратных часов. Если бы мы не прибегали к указанному допущению, в результате более громоздкого вывода можно было бы получить более точное выражение для уравнения обратных часов (сравните):

Уравнение обратных часов настолько важно и для анализа решений системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, и для практической деятельности оператора реакторной установки, что мы временно прервём ход решения дифференциальных уравнений кинетики и остановимся на нём более подробно.

12.1.4. Уравнение обратных часов.

а) Уравнение обратных часов как характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора. Развёрнутый вид уравнения:

свидетельствует о том, что это - алгебраическое уравнение седьмой степени относительно Т. Для того, чтобы понять это, достаточно мысленно представить, что получится в числителе выражения правой части уравнения после приведения его к общему знаменателю: седьмая степень уравнения становится очевидной. А это значит, что уравнение обратных часов в самом общем случае должно иметь семь корней.

В разделе математики “ Решение дифференциальных уравнений” говорится, что вид, величины и знаки корней характеристического уравнения определяют вид решения дифференциальных уравнений. В частности, если характеристическое уравнение имеет действительные корни, то решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) имеет экспоненциальный вид. Это побуждает нас заняться анализом корней уравнения обратных часов.

Но вначале следует уточнить одну немаловажную деталь: отыскивая с самого начала именно экспоненциальное решение для дифференциального уравнения изменения плотности нейтронов в виде одной экспоненты - n(t) = no exp (t/T), - мы невольно совершили небольшой просчёт, который следует исправить по ходу дела. Если уравнение обратных часов имеет семь корней, то общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора будет не одной экспонентой, а будет представлять со-

бой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов: