Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия». Майорова С.П., Завгородний М.Г
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов специальностей
10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем»
очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители: канд. физ.-мат. наук С.П. Майорова, канд. физ.-мат. наук М.Г. Завгородний
УДК 512.8
Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов специальностей 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. Воронеж, 2015. 44 с.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения по разделу «Кольцо многочленов», примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения и тестовые задания для заключительного контроля.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Мет_АлГео.pdf.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. техн. наук, доц. Н.А. Ююкин
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
ВВЕДЕНИЕ
Система университетского образования предполагает рациональное сочетание таких видов учебной деятельности, как лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, а также контроль полученных знаний.
Лекции представляют собой систематическое, последовательное изложение учебного материала.
Практические занятия позволяют научиться применять теоретические знания, полученные на лекциях при решении конкретных задач.
Самостоятельная работа студентов способствует глубокому усвоению учебного материала и развитию навыков самообразования. Самостоятельная работа предполагает следующие составляющие:
-работа с текстами: учебниками, справочниками, дополнительной методической литературой, а также проработка конспектов лекций;
-выполнение домашних заданий и типовых расчетов;
-работа над темами для самостоятельного изучения;
-подготовка к зачетам и экзаменам.
Данные методические указания содержат материал по разделу «Кольцо многочленов» и направлены на систематизацию и закрепление лекционного материала, а так же на получение практических умений и навыков студентов по этому разделу. Кроме того, в методических указаниях рассмотрены темы, выносимые на самостоятельное изучение: «Интерполяционный многочлен Лагранжа», «Критерий Батлера неприводимости многочлена над конечным полем», что поможет студентам в усвоении соответствующего материала.
Для эффективной подготовки к текущему контролю по данному разделу дисциплины в настоящих методических указаниях приведены вопросы для самоконтроля, тестовые задания, образец контрольной работы.
1. ПОСТРОЕНИЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. СХЕМА ГОРНЕРА
Основные теоретические сведения
|
Пусть K - |
коммутативное кольцо с единицей, не со- |
||||
держащее делителей нуля (т.е. K - область целостности). |
||||||
|
Определение. Многочленом от одного переменного x |
|||||
над |
кольцом |
K |
называется |
формальное |
выражение вида |
|
a a x a x2 |
... a xn , где |
n - целое |
неотрицательное |
|||
0 |
1 |
2 |
|
n |
|
|
число, и элементы a0 , a1, a2,..., an K . |
|
|||||
|
Обозначать многочлены будем a(x) , |
b(x) , f (x) и т.п. |
||||
|
Элементы |
a0 , a1, a2 ,..., an |
называют |
коэффициентами |
||
многочлена, a0 - свободным членом. Если an 0 , то число n называется степенью многочлена, а элемент an - старшим коэффициентом. Степень многочлена a(x) обозначается символом deg a(x) . Многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, называется унитарным.
Если все коэффициенты многочлена a(x) равны нулю, то a(x) называют нулевым многочленом и обозначают a(x) 0 . Степень нулевого многочлена считают равной .
В качестве K обычно рассматриваются следующие ал-
гебраические структуры: |
- поле действительных чисел, |
|||||
- поле комплексных чисел, |
- поле рациональных чисел, |
|||||
- кольцо целых чисел, |
p - поле вычетов по простому |
|||||
модулю p . |
|
|
|
|
|
|
Множество всех многочленов над кольцом K обозна- |
||||||
чим K[x] . Зададим на множестве K[x] |
две операции - сло- |
|||||
жение и умножение. Пусть |
|
|
|
|
||
a(x) a |
a x ... a xn , b(x) b |
b x ... b |
xm ( n m ). |
|||
0 |
1 |
n |
0 |
1 |
m |
|
Определение. Суммой многочленов a(x) |
и b(x) назо- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
вем |
многочлен вида a(x) b(x) ci xi , где ci |
ai bi , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i 0, m , |
и ci ai , i m 1, n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Определение. Произведением многочленов a(x) и b(x) |
|||||||||||
назовем многочлен вида a(x) b(x) d |
0 |
d x ... d |
n m |
xn m , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
dk |
aibj a0bk a1bk 1 ... ak b0 , |
|
|
|
|
|||||||
где |
k 0, n m . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i j k |
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь свободный член d0 a0b0 и старший коэффици-
ент dn m anbm .
Из введенных определений суммы и произведения многочленов вытекает:
1)deg a(x) b(x) max{deg a(x), deg b(x)} ;
2)deg(a(x) b(x)) deg a(x) deg b(x) .
Ометим, что свойство 2 верно в силу того, что в кольце K нет делителей нуля.
Теорема. Множество K[x] с введенными операциями
сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.
Зафиксируем |
произвольное поле P , |
и рассмотрим |
кольцо многочленов над полем P . |
|
|
Определение. |
Пусть a(x), b(x) P[x] . |
Говорят, что |
a(x) делится с остатком на b(x) , если существуют многочлены q(x), r(x) P[x] такие, что выполняются условия:
1) a(x) b(x)q(x) r(x) , 2) deg r(x) deg b(x) .
При этом q(x) называют неполным частным, а r(x) остат-
ком от деления a(x) на b(x) .
Теорема (о делении с остатком). Если a(x), b(x) P[x]
и b(x) 0 , то a(x) можно разделить с остатком на b(x) , причем неполное частное и остаток находятся однозначно.
3