Материал: Методические Указания Федотова Муравцов 3 1

3. Энергия электромагнитного поля

3.1 Уравнение баланса мгновенных значений мощностей

Электромагнитное поле – это особая форма существования материи. Энергия электромагнитного поля, в зависимости от характера порождающих его источников, может либо быть локализованной в определенной области пространства, либо перемещаться в пространстве, при этом она также может преобразовываться в другие виды энергии, например в тепловую.

Баланс энергии электромагнитного поля в некотором объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, определяется теоремой Умова-Пойнтинга в интегральной форме для мгновенных значений мощностей

(3.1)

или, используя физический смысл каждого слагаемого в (1.3),

(3.2)

где энергия, запасаемая в электрическом поле W ^эл и магнитном поле W ^маг

(3.3)

а мощность излучения, входящая или выходящая через S

где вектор Пойнтинга,

мощность тепловых потерь

, (3.4)

мощность сторонних источников

(3.5)

В большинстве практических задач уравнение баланса упрощается. Например, еcли в V нет сторонних источников, то j^ст = 0 и Р^ст = 0, если среда в V не проводит электрический ток Ϭ = 0, то J=0 и Р^пот = 0. и т.д.

Следует отметить. что все подынтегральные выражения в (3.1) являются соответствующими плотностями мощности или энергии т.е. это мощности или энергия отнесенные к 1м³ .Например, мгновенная объемная плотность энергии, запасаемая в электрическом или магнитном полях вычисляется по формуле

(3.6)

Отметим, что все интегралы в (3.1) , кроме интеграла характеризующего тепловые потери, могут принимать положительные или отрицательные значения, что соответствует разным физическим явлениям, например, если > 0, то мощность от стороннего источника передается электромагнитному полю, если < 0, то энергия , запасенная в поле передается потребителю, и т.д.

3.2 Активная, реактивная и комплексная мощности.

Как известно из курса «Теория электрических цепей», если в электрической цепи напряжение U и ток I изменяются во времени по гармоническому закону, то мгновенное значение мощности P в цепи, определенное по закону Джоуля – Ленца, может быть представлено в виде двух слагаемых , где – называют активной мощностью, среднее значение которой за период , а –называют реактивной мощностью, которая изменяется во времени по гармоническому закону с удвоенной частотой и амплитудой _мах , среднее значение которой за период . В этом случае . Тогда вводят понятие комплексная мощность , где – коплексная амплитуда U, а – комплексно сопряженная амплитуда I. При этом

. (3.7)

Аналогично, можно ввести комплексные мощности в любом другом случае: для этого нужно первый сомножитель в выражении для мгновенных значений мощности заменить соответствующей ему комплексной амплитудой, а второй –комплексно- сопряженной амплитудой соответствующей ему и результат умножить на 1/2.

Например, мощности, входящие в (3.1):

1. комплексная мощность сторонних источников ,

в этом случае , а

;

2. комплексная мощность джоулевских потерь

, а

3. комплексный вектор Пойнтинга

(3.8)

в этом случае

; (3.9)

при этом

(3.10)

4. комплексная энергия . запасаемая в электрическом и магнитном полях

в этом случае и

Средняя объемная плотность энергии, запасаемая в электрическом или магнитном полях вычисляется по формуле

, (3.11)

3.3 Примеры решения задач

Задача 1

1. Записать мгновенное и среднее за период значения вектора Пойнтинга , определить амплитуду реактивного вектора Пойнтинга, если

2. Вычислить вектор Пойнтинга в точке М(а/4, 2см, 1м) при

f = 9,6 ГГц, β= 104 Рад/м, Е0= 5 В/м, H₀=35 А/м

Решение

1.Запишем мгновенные значения всех проекций из условия задачи

(3.12)

2. Запишем комплексные амплитуды всех проекций векторов поля

(3.13)

1. Запишем комплексно сопряженные амплитуды проекций вектора

;

(3.14)

4.Определяем мгновенный вектор Пойнтинга по формуле . Подставляя сюда формулы из ( 3.12 ) получим

(3.15)

5.Определяем комплексный вектор Пойнтинга, используя формулы ( 3.13 ) и ( 3.14 ):

6. Определяем средний вектор Пойнтинга:

(3.16)

7.Опредеяем амплитуду реактивного вектора Пойнтинга, учитывая :

(3.17)

Подставляя в полученные формулы (3.15) – (3.17) заданные числовые значения задачи. вычисляем требуемые величины.

Задача 2

Используя исходные данные Задачи 1:

1 определить мгновенное и среднее значения объемной плотности энергии электрического и магнитного полей в среде с параметрами ε_r=4; μ_r=1,5;

2. вычислить это значение в точке М

Решение

1.Определяем мгновенные объемные плотности энергии, запасаемой в электрическом и магнитном полях

(3.18)

(3.19)

2.Определяем среднее значения объемной плотности энергии, запасаемой в электрическом и магнитном полях (3.13) – (3.14) :

; (3.20)

(3.21)

Подставляя в полученные формулы (3.18) – (3.21) заданные числовые значения задачи и учитывая ε_r=4; μ_r=1,5 , вычисляем требуемые величины.

4. Литература

1. Пименов В.Ю. Вольман В.И. Муравцов А.Д. Техническая электродинамика .- М.: Радио и связь, 2002. – 536 с. ЭБС МТУСИ