Материал: Методические указания к контрольной работе по физике для студентов направления Электроэнергетика и электротехника. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н
14.Электроемкость уединенного проводника и
конденсатора C q; C q .
15.Ёмкость плоского конденсатора
C 0 S, d
где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.
16. Емкость цилиндрического конденсатора
C 2 0 , ln(r2 /r1)
где - длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы коаксиальных цилиндров .
17. Емкость сферического конденсатора
C 4 0 r1r2 , (r2 r1)
где r1 и r2 |
- радиусы концентрических сфер. |
при |
|||||
18. |
Емкость |
системы |
конденсаторов |
||||
последовательном и параллельном соединении |
|
||||||
|
1 |
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
; C Ci . |
|
||||
|
|
C |
Ci |
|
|||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
||
19. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов
1
W 2 qi i,
где i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится
заряд qi , всеми зарядами, кроме i – го.
20. Энергия системы с непрерывно распределенным зарядом
W12 dV.
21.Энергия заряженного конденсатора
4
W CU2 qU q2 .
22 2C
22.Объемная плотность энергии электростатического
поля
w 0 E2. 2
2.2. Примеры решения задач
Пример 1. Два точечных электрических заряда q1 = =1нКл и q2 = - 2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда q2 на r2= 7 см.
Решение
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия
впространстве других зарядов.
Напряжённость Е электростатического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжён-
ностей Е1 и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Е Е1 Е2 .
Напряжённости электростатического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами q1 и q2,
E |
q1 |
|
(1), |
E |
|
|
q2 |
|
(2). |
||
1 |
4 |
r2 |
|
|
2 |
|
4 |
r2 |
|||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
5
Вектор Е1 направлен по силовой линии от заряда q1,
так как этот заряд положителен, вектор Е2 направлен также
по силовой линии, но к заряду q2, так как этот заряд отрицателен.
Модуль вектора Е найдём по теореме косинусов:
E E2 |
E2 |
2E E cos , |
(3) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
где α – угол между векторами |
Е1 и Е2 , который может быть |
|||
найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d |
|
|||
cos d2 r12 r22 .
2rr1 2
Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим
E |
1 |
|
|
|
q12 |
q22 |
|
q12 |
q22 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos . |
(4) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
r4 |
r4 |
r4r4 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов
1 2 . (5)
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой
|
|
|
|
|
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно формулам (5) и (6) получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
q |
|
q |
|
|
|
|
q |
|
q |
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
4 r |
4 r |
, |
или |
4 |
0 |
r |
|
r |
|
. |
|||||
|
0 1 |
|
0 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||
Произведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Е = 3,58 В/м, |
|
|
= - 157 В. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример |
2. |
Электрическое |
|
|
|
|
|
||||||||
поле |
|
создаётся |
двумя |
зарядами |
|
|
|
2 |
|
|||||||
q1 = =4 мкКл |
|
и |
q2 = -2 мкКл, |
|
|
|
|
|
||||||||
находящиеся |
на расстоянии a =0,1 |
|
|
|
|
a |
||||||||||
м |
друг |
|
от |
друга. |
Определить |
|
|
1 |
a |
|||||||
работу |
|
А12 |
|
|
сил |
|
поля |
по |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
перемещению заряда q = 50 нКл из |
|
q1 |
1 |
|
q2 |
|||||||||||
точки 1 в точку 2 (см. рис.). |
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Для определения работы А12 |
сил поля воспользуемся |
|||||||||||||
соотношением |
A12 q 1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Применяя принцип супер-позиции электрических |
||||||||||||||
полей, определим потенциалы 1 |
и 2 |
точек 1 и 2 поля: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
q2 |
2(q1 q2 ) ; |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
4 0a/2 |
4 0a/2 |
|
4 0a |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
q1 |
|
q2 |
q1 / |
2 q2 . |
|
|
|||
|
|
|
|
4 0a |
|
2 |
4 0a |
|
4 0a |
|
|
|
||||
Тогда |
A12 |
|
|
q |
|
2 q1 q2 q1 |
/ |
2 q2 |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 0a |
q1 2 1/ |
2 q2 . |
|
|
|
|||||
Или |
|
A12 |
|
|
q |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 0a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
После подстановки численных значений, получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A12 14,3мДж . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример |
3. |
С |
поверхности |
|
|
R |
|
|
||
бесконечного |
равномерно |
заряженного |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
(τ = 50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает |
|
|
1 |
2 |
||||||
α – частица |
(υ0 = |
0). |
Определить |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
8R |
|
||||
кинетическую энергию Т2 α-частицы в |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
точке 2 на расстоянии 8R от поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|||
цилиндра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинетической энергии α - частицы в точке 2 воспользуемся законом сохранения
энергии, записанном в виде Е1 = Е2, где Е1 и Е2 |
полные |
|
энергии α- частицы в точках 1 и 2. |
|
|
Так как Е1= Т1+U1 |
и Е2= Т2+U2 (Т1 иТ2 – кинетические |
|
энергии α - частицы; а U1 |
и U2 – потенциальные), то, учитывая, |
|
что Т1=0 (υ1=0), можно записать U1= Т2+U2, откуда: |
|
|
Т2= U1 - U2 = q(φ1 - φ2), |
(1) |
|
где q – заряд α- частицы, φ1 и φ2 – потенциалы точек 1 и 2. Для определения разности потенциалов воспользуемся
соотношением между напряжённостью поля и изменением
потенциала: E grad . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде
E |
d |
, |
или d Edr . |
|
|||
|
dr |
|
|
Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:
r2 |
|
2 1 Edr . |
(2) |
r1 |
|
Так как цилиндр бесконечный, то для вычисления напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным
цилиндром: |
E |
0r) |
. |
Подставив выражение для Е в |
||||||||
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение (2), получим |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|||
|
2 |
0 |
r |
2 |
0 |
r |
||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|||
1
или
8