Материал: Методические указания к лабораторным работам №1–4 по курсам «Моделирование систем» и «Системы автоматизированного проектирования» для бакалавров. Разинкин К.А., Мединцев В.Г

Геометрическое место точек W(jw ) на комплексной плоскости при изменении w от w₀ до от w₁ (обычно w ₀ = 0, w ₁ = w ), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.

Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w .

Последовательность выполнения работы

Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

TF([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₁ – значения коэффициентов полинома В в (1.3),

a_n, …, a₁ – значения коэффициентов полинома A в (1.3).

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Некоторые команды Control System Toolbox

Синтаксис	Описание
pole(<LTI-объект>)	Вычисление полюсов передаточной функции
zero(<LTI-объект>)	Вычисление нулей передаточной функции

Продолжение табл. 1.1

step(<LTI-объект>)	Построение графика переходного процесса
impulse(<LTI-объект>)	Построение графика импульсной переходной функции
bode(<LTI-объект>)	Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)
nyquist(<LTI-объект>)	Построение частотного годографа Найквиста

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [p_k, …, p₀].

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Таким образом, выполнение лабораторной работы состоит из следующих шагов:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Запустить систему MATLAB.

3. Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.

4. Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.

5. Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.

6. Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.

7. Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.

8. Получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев.

9. Ответить на контрольные вопросы.

10. Оформить отчет.

11. Сдать отчет преподавателю и защитить работу.

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать титульный лист, формулировку цели работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания, результаты работы, выводы.

Примечание: Варианты заданий, состоят из двух цифр: первая - номер передаточной функции, вторая – номер набора значений коэффициентов.

Методический пример

Пусть в соответствии с вариантом получена передаточная функция САУ

.

Найдем ее динамические и частотные характеристики. Будем работать в командном режиме среды MATLAB.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. Построим переходную функцию командой step(w). Результат ее выполнения приведен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Переходная функция h(t)

Рис. 1.7. Импульсная функция

4. Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w). Результат показан на рис. 1.7.

5. Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w) – рис. 1.8.

Рис. 1.8. Логарифмические частотные характеристики

6. Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w) – рис. 1.9.

Рис. 1.9. Частотный годограф

Аналогичные результаты (рис. 1.10) можно получить, используя команду ltiview(w), с соответствующими настройками в меню «Plot Configuration».

Рис. 1.10. LTI-viewer

Каждая из построенных характеристик полностью и однозначно определяет рассматриваемую систему управления.

Контрольные вопросы

1. Представьте систему в виде последовательного соединения типовых звеньев.

2. Дайте определение и поясните физический смысл переходной функции.

3. Представьте исходную систему в пространстве состояний.

4. Найдите передаточную функцию замкнутой системы.

5. Постройте динамические характеристики типовых звеньев.

6. Определите вид ЛЧХ для пропорционально – интегрально –дифференциального регулятора.

Задания на лабораторную работу

Определите передаточную функцию цепи в общем виде, а затем в числовых значениях, изображенной на рис. 1.11:

Рис. 1.11

Таблица 1.2

Вариант	1 элемент	2 элемент	3 элемент	4 элемент
1	R1 = 2 Ом	R2 = 1 Ом	R3 = 4 Ом	C = 6*10-6 Ф
2	R1 = 1 Ом	R2 = 3 Ом	C = 6*10-6 Ф	L = 4*106 Гн
3	R1 = 1 Ом	R2 = 5 Ом	L = 4*106 Гн	C = 2*10-6 Ф
4	R1 = 3 Ом	C = 6*10-6 Ф	R2 = 3 Ом	L = 4*106 Гн
5	R = 4 Ом	C1 = 4*10-6 Ф	C2 = 2*10-6 Ф	L = 5*106 Гн
6	R1 = 2 Ом	C = 3*10-6 Ф	L = 4*106 Гн	R2 = 8 Ом
7	R1 = 6 Ом	L = 2*106 Гн	R2 = 5 Ом	C = 4*10-6 Ф
8	R = 4 Ом	L = 3*106 Гн	C1 = 6*10-6 Ф	C2 = 1*10-6 Ф
9	R = 2 Ом	L1 = 5*106 Гн	L2 = 4*106 Гн	C = 2*10-6 Ф
10	C1 = 1*10-6 Ф	R1 = 6 Ом	R2 = 4 Ом	C2 = 3*10-6 Ф
11	C1 = 4*10-6 Ф	R = 3 Ом	L = 3*106 Гн	C2 = 5*10-6 Ф
12	C1 = 3*10-6 Ф	C2 = 4*10-6 Ф	R = 2 Ом	C3 = 3*10-6 Ф
13	C1 = 2*10-6 Ф	C2 = 3*10-6 Ф	C3 = 3*10-6 Ф	L = 5*106 Гн
14	C1 = 3*10-6 Ф	L = 2*106 Гн	C2 = 4*10-6 Ф	R = 3 Ом
15	L1 = 1*106 Гн	R1 = 2 Ом	R2 = 4 Ом	L2 = 1*106 Гн
16	C = 4*10-6 Ф	L1 = 4*106 Гн	L2 = 3*106 Гн	R = 2 Ом
17	L1 = 4*106 Гн	R = 6 Ом	L2 = 3*106 Гн	C = 4*10-6 Ф
18	L1 = 7*106 Гн	C1 = 7*10-6 Ф	C2 = 2*10-6 Ф	L2 = 6*106 Гн
19	L1 = 3*106 Гн	C = 5*10-6 Ф	L1 = 1*106 Гн	R = 4 Ом
20	L1 = 6*106 Гн	L2 = 5*106 Гн	R = 3 Ом	L3 = 2*106 Гн
21	L1 = 8*106 Гн	L2 = 4*106 Гн	L3 = 4*106 Гн	C = 3*10-6 Ф
22	R1 = 1 Ом	C1 = 4*10-6 Ф	R2 = 5 Ом	C2 = 5*10-6 Ф
23	R1 = 4 Ом	L1 = 5*106 Гн	R2 = 6 Ом	L2 = 3*106 Гн
24	C1 = 5*10-6 Ф	R1 = 4 Ом	C2 = 7*10-6 Ф	R2 = 4 Ом
25	C1 = 7*10-6 Ф	C2 = 5*10-6 Ф	C3 = 3*10-6 Ф	R = 2 Ом

Лабораторная работа № 2 Модели в переменных состояния

В

SISO Design Tools – проектирование систем регулирования с использованием графического интерфейса анализа одномерных линейных (линеаризованных) систем управления

(Single Input/Single Output).

LTI – непрерывная система

(Linear Time Invariation)

MIMO – Multiplay Input/Multiplay Output

пакетах расширения Control System Toolbox системы МАТLАВ приняты следующие способы описания линейных динамических систем с постоянными параметрами: система уравнений первого порядка в фазовом пространстве, или в пространстве состояний системы (ss — state-spase), передаточ­ная функция системы в виде отношения двух полиномов (tf), пе­редаточная функция в так называемом виде нуль/полюс/ коэффи­циент усиления (zpk).

1. Наибольшее распространение получил пер­вый способ, который дает наилучшую точность при вычислениях и в большей степени удобен при теоретических исследованиях и практической реализации алгоритмов управления с применением вычислительных машин и т. д.

При применении этого способа дифференциальные уравне­ния, описывающие динамику системы, имеют вид:

Ax+Bu (2.1)

где х — n-мерный вектор состояния системы (вектор фазовых ко­ординат), u — р-мерный вектор внешних воздействий, состоящий из заданных величин, возмущений, управлений, формируемых ре­гулятором, А и В — переходная матрица системы и матрица управ­лений соответствующих размеров. Предполагается, что измерению доступна только часть состояний системы или их линейных ком­бинаций, такие переменные у называются выходами системы:

у = Сх + Du (2.2)

где у — m-мерный выходной вектор, C, D — матрицы соответст­вующих размеров. Для большинства реальных объектов управле­ния D = 0.

В рассматриваемых пакетах расширения имеется возможность манипулировать с системой, описываемой уравнениями как с одним объектом МАТLАВ. Для этого нужно матрицы А, В, С, B трансформировать в систему, используя команды ss.

2. Передаточная функция (tf) имеет вид

(2.3)

3. ZPK модель имеет вид

(2.4) Далее в качестве примера с использованием метода переменных состояния рассмотрим RCL цепь.

Дана цепь (см. рис. 2.1) Состояние системы характеризуется двумя переменными (x₁,x₂), где x₁ — есть напряжение на конденсаторе u_c(t), и х₂ — ток через индуктивность i_L(t).