Материал: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Модели безопасности компьютерных систем» для студентов специальности 090301 «Компьютерная безопасность». Гончаров И.В., Остапенко А.Г

Для преобразования целого десятичного числа в двоичное необходимо разделить его на основание новой системы счисления (S=2). Полученное частное снова делится на основание новой системы счисления, до тех пор, пока частное, полученное в результате очередного деления, не будет меньше основания новой системы счисления. Последнее частное (являющееся старшим значащим разрядом) и все полученные остатки от деления составляют число в новой системе счисле-

ния [1].

Пример:

Перевести целое десятичное число 10(10) в двоичное

число.

СЗР

Для перевода дробных чисел (или дробных частей вещественных чисел) требуется другая процедура преобразования.

Пример:

Десятичное число 0.375(10) преобразовать в двоичное

число.

1.Умножим дробь на основание новой системы счисле-

ния S = 2: 2*0.375 = 0.75.

2.Если результат умножения меньше единицы, то СЗР присваивают значение 0. Если - больше единицы, то присваивают значение 1. Поскольку 0.75<1, то СЗР=0.

3.Результат предыдущей операции вновь умножаем на основание новой системы счисления 2. Если бы он был больше единицы, то в этой операции умножения

4

участвовала бы только его дробная часть. В данном случае: 2*0.75=1.5.

4.Поскольку 1.5>1, то ближайшему разряду справа от СЗР присваивается значение один, а следующая операция умножения производится только над дробной частью числа 1.5, т.е. над числом 0.5: 2*0.5=1.

5.Шаги описанной процедуры повторяются до тех пор, пока либо результат умножения не будет точно равен 1 (как в рассматриваемом примере), либо не будет достигнута требуемая точность.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичнодесятичную весьма прост и заключается в замене каждой цифры двоичной тетрадой.

Пример:

Записать десятичное число 572.38(10) в двоичнодесятичной системе счисления.

Обратный перевод также прост: необходимо двоичнодесятичное число разбить на тетрады от точки влево (для целой части) и вправо (для дробной), дописать необходимое число незначащих нулей, а затем каждую тетраду записать в виде десятичной цифры.

Пример:

Записать двоично-десятичное число 10010.010101(2-10) в десятичной системе счисления.

Перевод чисел из двоично-десятичной в двоичную систему осуществляется по общим правилам, описанным выше.

5

Поскольку 8=23, то каждый восьмеричный символ можно представить трехбитовым двоичным числом. Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число влево (для целой части) и вправо (для дробной) от точки (запятой) на группы по три разряда (триады) и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются необходимым количеством незначащих нулей.

Пример:

Двоичное число 10101011111101(2) записать в восьмеричной системе счисления.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему осуществляется путем представления каждой цифры восьмеричного числа трехразрядным двоичным числом (триадой).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число влево и вправо от точки на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

Пример:

Двоичное число 10101011111101(2) записать в шестнадцатеричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, необходимо наоборот каждую цифру этого числа заменить тетрадой.

6

Рассмотрим двоичную арифметику, а именно операции сложения, умножения, вычитания и деления.

Сложение

Как и в десятичной системе счисления, сложение двоичных чисел начинается с правых (младших) разрядов. Если результат сложения цифр МЗР обоих слагаемых не помещается в этом же разряде результата, то происходит перенос. Цифра, переносимая в соседний разряд слева, добавляется к его содержимому. Такая операция выполняется над всеми разрядами слагаемых от МЗР до СЗР [2].

Пример:

Сложим два числа в десятичном и двоичном представлении (формат - 1 байт).

Операция получается громоздкая со многими переносами, но удобная для ЭВМ.

Вычитание

Операция вычитания двоичных чисел аналогична операции в десятичной системе счисления. Операция вычитания начинается, как и сложение, с МЗР. Если содержимое разряда уменьшаемого меньше содержимого одноименного разряда вычитаемого, то происходит заем 1 из соседнего старшего разряда. Операция повторяется над всеми разрядами операндов от МЗР до СЗР [2].

7

Умножение

Как и в десятичной системе счисления, операция перемножения двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Частичные произведения формируются в результате умножения множимого на каждый разряд множителя, начиная с МЗР. Каждое частичное произведение смещено относительно предыдущего на один разряд. Поскольку умножение идет в двоичной системе счисления, каждое частичное произведение равно либо 0 (если в соответствующем разряде множителя стоит 0), либо является копией множимого, смещенного на соответствующее число разрядов влево (если в разряде множителя стоит 1). Поэтому умножение двоичных чисел идет путем сдвига и сложения. Таким образом, количество частичных произведений определяется количеством единиц в множителе, а их сдвиг - положением единиц (МЗР частичного произведения совпадает с положением соответствующей единице в множителе). Положение точки в дробном числе определяется так же, как и при умножении десятичных чисел [2].

8