1
ФГБОУ ВПО "Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина"
Методика организации численного исследования электротехнических устройств с использованием библиотеки конечно-элементного моделирования магнитного поля
А.С. Шмелев, И.А. Пайков, Л.Н. Булатов
Авторское резюме
Состояние вопроса: В настоящее время разработана и развивается технология численного исследования электротехнических устройств, построенная на основе инструментария, представляемого разработанной авторами динамически подключаемой библиотекой конечно-элементного моделирования двухмерного квазистационарного магнитного поля, способной интегрироваться с современными математическими пакетами. С помощью данной библиотеки можно организовать программу численного эксперимента, состоящего в параметрической генерации полевой модели исследуемого устройства и серии расчетов магнитного поля по заданному алгоритму. Цель работы состоит в повышении эффективности численного исследования проектируемых устройств с использованием полевых моделей по сравнению с современными системами инженерных расчетов (САЕ-системами).
Материалы и методы: Для расчета магнитного поля использована разработанная авторами библиотека конечно-элементного моделирования EMLib. В качестве базы для создания исследовательской среды используется пакет MSExcel. Для реализации наукоемких алгоритмов используется пакет MatLab.
Результаты: Рассмотрена методика организации численного эксперимента с использованием библиотеки EMLib. С помощью данной методики решены задачи расчета динамических режимов различных электротехнических устройств и оптимизации их конструкции.
Выводы: Рассмотренная технология численного исследования электротехнических устройств позволяет решать задачи, характерные для современных CAE-систем, практически не уступая им по широте охвата решаемых задач, но является в то же время относительно простой в использовании и доступной для предприятий малого и среднего бизнеса.
Ключевые слова: численное моделирование электротехнических устройств, конечно-элементная модель магнитного поля, параметрический генератор полевой модели, численный эксперимент.
Background: In present the technology of numerical study of electrical devices that is based on the tools presented by the dynamical library of finite element modeling of two - dimensional quasi-stationary magnetic field, developed by authors, was created and is being developed. The library is suitable for integration with modern mathematical packages. Using this library one can organize a program implementing numerical experiment that includes the parametric generation of the field model of the electrical device and a series of calculations of the magnetic field using a given algorithm. The goal is the increase in efficiency of numerical study of the devices that are being designed with the use of field models comparing to the modern computer-aided engineering (CAE) systems.
Materials and methods: Library of finite element modeling EMLib created by authors is used for magnetic field calculation. MSExcel is used as a base for scientific environment creation. High-tech package MatLab is used to implement mathematical algorithms.
Results: An overview of the organization of the numerical experiment using library EMLib is presented. This method is used to calculate the dynamics of different electronic devices and to optimize their construction.
Conclusions: The overviewed technology of numerical study allows to solve tasks common to modern CAE systems, covering the same variety of functions, but being relatively simple to use and affordable for small and medium businesses.
Keywords: numerical modeling of electrical devices, finite element model of the magnetic field, parametric generator of a field model, numerical experiment.
численное исследование электротехническое устройство
Основний зміст дослідження
Технология численного исследования электрических машин с использованием библиотеки конечно-элементного моделирования магнитного поля, описанная в [1], сегодня получила развитие в нескольких направлениях, а именно:
1) уточненный расчет динамических и установившихся режимов работы электротехнических устройств, в частности, в силовых трансформаторов [2], токоограничивающих реакторов [3], асинхронных машин [4], машинах постоянного тока [5], торцевых синхронных генераторов [6];
2) расчет холостого хода силового трансформатора [7];
3) расчет механических усилий в обмотках силовых трансформаторов и токоограничивающих реакторов в аварийных режимах;
4) параметрическая и структурная оптимизация конструкции электротехнических устройств.
Сама библиотека конечно-элементного моделирования магнитного поля EMLib, претерпела существенные изменения. Математическое ядро, осуществляющее собственно расчет магнитного поля, стало платформонезависимым на уровне компилятора, произведена оптимизация алгоритмов, позволившая существенно сократить время расчета магнитного поля на каждой итерации численного эксперимента, усовершенствованы интерфейсы, позволяющие интегрировать данную библиотеку во все математические пакеты [8].
В настоящее время технология численного исследования электротехнических устройств реализуется на базе табличного процессора MSExcel, предоставляющего исследователю удобный интерфейс и визуальные средства обработки результатов. Подсистемы, реализующие численный эксперимент, пишутся во встроенной в Excel системе программирования Visual Basic for Excel. При необходимости используется математический пакет MatLab, связываемы й Excel с помощью интерфейса ExelLink. И в Excel, и в MatLab могут внедряться функции динамически подключаемой библиотеки моделирования магнитного поля EMLib.
Наиболее детально проработана универсальная методика расчета динамических режимов в электротехнических устройствах. Алгоритм расчета строится на основе системы дифференциальных уравнений, имеющей вид
, (1)
где - вектор потокосцеплений контуров с током; - вектор напряжений контуров; - матрица сопротивлений контуров; - вектор мгновенных значений токов контуров. При расчете электрических машин в качестве неизвестной величины в вектор токов добавляется угловая скорость ротора щ и к системе уравнений (1) добавляется уравнение
, (2)
где J - момент инерции на оси ротора; Mi - i-й момент на валу ротора.
Используя для k-й обмотки разложение
, (3)
где N - количество контуров с током, уравнение (1) преобразуем к виду
, (4)
где - матрица частных производных потокосцеплений контуров.
Расчет динамических режимов в индукционных устройствах можно осуществлять в двух режимах (рис.1):
1) прямой режим с непосредственным обращением к расчету модели магнитного поля на каждом шаге интегрирования;
2) режим с обучением, предполагающий проведение серии предварительных расчетов магнитного поля с заданным шагом в заданном диапазоне изменения значений токов контуров и последующей аппроксимацией полученных матриц потокосцеплений контуров с током многомерными сплайнами.
Рис. 1. Два режима проведения численного эксперимента
Наиболее просто расчет в режиме с обучением осуществляется в случае устройств с небольшим количеством контуров или обмоток с током. Например, при расчете режима пуска двигателя постоянного тока (ДПТ) [5] количество независимых контуров N = 2: цепь параллельной обмотки возбуждения и цепь обмотки якоря, последовательной обмотки возбуждения и компенсационной обмотки. Результатом серии расчетов магнитного поля ДПТ при разных комбинациях тока якоря ia и тока возбуждения if являются матрицы потокосцеплений обмоток, которые средствами MatLab аппроксимируются двухмерными сплайнами (рис.2) (мерность сплайна равна количеству независимых контуров с током).
Рис. 2. Сплайновая аппроксимация матриц потокосцеплений обмотки возбуждения f (if, ia) и якоря а (if, ia)
По сплайнам потокосцеплений обмотки возбуждения f (if, ia) и якоря а (if, ia) строятся сплайны частных производных , , , , по которым на каждом шаге интегрирования по времени уравнения (3) при текущих значениях токов обмоток определяются элементы матрицы частных производных. Результаты расчета пуска двигателя постоянного тока 4П80 приведены на рис.1 (масштабы графиков: тока возбуждения mif = 1 А/ед; тока якоря mia = 100 А/ед; частоты вращения mЩ = 500 (1/c) /ед; момента mM = 20 Н. м/ед; ЭДС mEa = 250 В/ед; магнитного потока mФ = 1/440 Вб/ед). Расчет осуществляется практически в реальном времени.
Рис.3. Кривые пуска ДПТ 4П-80 с использованием модели магнитного поля
Расчет в режиме с прямым обращением к модели магнитного поля можно проиллюстрировать на примере расчета пуска асинхронного двигателя (АД) с короткозамкнутым ротором с учетом вытеснения тока в пазах ротора [4].
Моделируемый АД имел 51 паз на роторе, каждый из которых был разделен на 5 слоев. Каждому слою соответствовал свой контур с током. Обмотка статора была представлена тремя контурами. Итого получаем N = 258. При таком количестве независимых контуров с током режим с предварительным обучением модели невозможен.
Рис.4. Результаты расчета кривой пуска АД с короткозамкнутым ротором с учетом вытеснения тока в позах ротора: 1 - зависимость угловой скорости щ от времени; 2 - зависимость электромагнитного момента M от времени
В режиме с непосредственным обращением к модели на каждом шаге интегрирования уравнения (3) при текущих значениях токов контуров рассчитывается магнитное поле, затем каждому j-му току контура дается приращение и опять рассчитывается магнитное поле. В результате находятся приращения потокосцеплений k-х обмоток и строится матрица . Количество обращений к полевой модели на каждом шаге интегрирования равно N+1 = 259. Расчет магнитного поля машины длится доли секунды. При этом для интегрирования системы уравнений (3) с шагом по времени ?t = 0,001с в пределах 0,2с требуется несколько часов.
Иногда модель динамических режимов в исследуемом устройстве с большим количеством контуров с током удается построить таким образом, что количество независимых величин удается ограничить, снизив тем самым размер матрицы потокосцеплений. Примером может служить модель АД, в которой разложение (3) принимает вид
(5)
где Fx, Fy - составляющие по осям координат результирующей намагничивающей силы (НС), формируемой всеми обмотками машины; Kxj, Kyj - геометрические коэффициенты, определящие вклад j-го контура машины в результирующую НС машины.
Такой подход позволяет использовать режим модели с предварительным обучением с использованием матриц потокосцеплений обмоток, зависящих всего от трех величин Fx, Fy и б. Точность такого расчета ниже, чем в случае с прямым обращением к полевой модели, так как не удается учесть все особенности вклада каждого контура в совокупное магнитное поле.
Аналогичным образом в [2] рассчитывается кривая переходного процесса в трехфазном силовом трансформаторе. Расчет осуществляется при наличии шести матриц потокосцеплений (по числу обмоток трансформатора)
(6)
где F1, F2, F3 - НС стержней трансформатора.
При этом считается, что первичная и вторичная обмотки, расположенные на m-м стержне, создают единую НС, рассчитываемую по формулам
(7)
(8)
где jm - средняя плотность тока в обмотках m-го стержня; im, im+3 - мгновенные значения токов в первичной и вторичной обмотках m-го стержня; Wm, Wm+3 - число витков первичной и вторичной обмоток m-го стержня; Sm, Sm+3 - площади сечений первичной и вторичной обмоток m-го стержня.
Варьируя jm в пределах от - jmax до +jmax, где jmax - некоторая максимальная величина средней плотности тока, получаем зависимости, которые аппроксимируются трехмерными сплайнами (рис.5).
Рис.5. Сплайновая аппроксимация матрицы 1 (F1,F2,F3) при F3 = 0
Для каждой k-й обмотки можно записать
, (9) где
. (10)
Результат расчета трехфазного короткого замыкания (КЗ) трансформатора ТМГ-1000 - 10,5/0,4, полученного с помощью данной модели представлен на рис.6.
Рис.6. Графики расчетных токов в обмотках низшего напряжения трансформатора ТМГ-1000 - 10,5/0,4 при трехфазном коротком замыкании
Особенность примера расчета токов КЗ силового трансформатора состоит в том, что численный эксперимент в этом случае не ограничивается расчетом токов. Полученные по результатам расчета токи в обмотках трансформатора используются здесь для расчета электродинамических усилий, возникающих в обмотках при КЗ. Картина магнитного поля трансформатора для этого случая представлена на рис.7.
Рис.7. Результаты расчета магнитного поля трансформатора в режиме КЗ
Для расчета электромеханических усилий, действующих на объем, ограниченный поверхностью S, используется формула
, (11)
где и - векторы напряженности и индукции магнитного поля; - вектор нормали к поверхности интегрирования.
В двухмерной постановке задачи уравнение (11) для составляющих силы, действующей на единицу длины трансформатора в третьем измерении, принимает вид
, (12)
, (13)
где - проекции магнитной индукции, напряженности и вектора нормали на ось X; - проекции магнитной индукции, напряженности и вектора нормали на ось Y; N? - количество треугольных элементов, через которые проходит контур интегрирования; dlk - длина контура интегрирования в пределах k-го элемента.
Для определения силы, действующей на виток в радиальном направлении, используется интегральная формула