Самарский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМИ ПОЛЯМИ В ПРОЦЕССЕ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА АЛЮМИНИЕВЫХ ЗАГОТОВОК, ВРАЩАЮЩИХСЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Ю.Э. Плешивцева, Н.В. Заикина
Аннотация
нагрев индукционный магнитный поле
Исследуется инновационная энергосберегающая технология индукционного нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока. Проведено моделирование процесса нагрева с использованием электромагнитно-тепловой двумерной численной модели и параметрическое исследование температурных полей заготовки. Приводятся постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления процессом нагрева заготовок.
Ключевые слова: индукционный нагрев, температурное поле, численная модель, альтернансный метод, оптимальное по быстродействию управление.
Введение
Индукционный нагрев алюминия, обладающего высокой удельной проводимостью, является одним из самых крупномасштабных электротехнологических процессов, применяющихся в цветной металлургии, особенно в технологиях горячей обработки цветных металлов давлением. Традиционные индукционные нагреватели представляют собой сплошной соленоид (индуктор), создающий переменное во времени магнитное поле, и конвейерную ленту, по которой в нагревательную установку поступают новые заготовки, нагревающиеся в процессе прохождения внутри индуктора. Установки такого типа обладают большими энергетическими потерями за счет водяного охлаждения медных частей, и их КПД обычно не превышает 60%.
Для повышения энергетической эффективности процесса индукционного нагрева в последние годы была разработана принципиально новая технология, которая заключается в использовании сверхпроводящих материалов для возбуждения магнитного поля высокой интенсивности [1]. Данная технология основана на способности сверхпроводников проводить постоянный ток практически без потерь. Нагрев в таких установках осуществляется за счет токов, индуцируемых в заготовке при ее вращении в постоянном магнитном поле. Коэффициент полезного действия при таком методе нагрева теоретически может достигать 90%.
При вращении заготовки с постоянной скоростью в направленном перпендикулярно оси её вращения (рис. 1) постоянном магнитном поле магнитный поток изменяется по синусоидальному закону, в результате чего и производится нагрев изделия индуцируемыми вихревыми токами.
Р и с. 1 Принцип индукционного нагрева заготовки, вращающейся в магнитном поле суперпроводника
Численная двумерная модель процесса нагрева
Математическая модель системы нагрева алюминиевых заготовок вращением включает взаимосвязанный расчет электромагнитных и тепловых полей в поперечном сечении заготовки в предположении, что длина заготовки много больше её радиуса.
При моделировании рассматриваемого процесса необходимо учитывать следующие факторы:
– теплофизические свойства материала заготовки существенно зависят от температуры и от неравномерности магнитного поля;
– существует сложный характер теплообмена, то есть имеет место одновременное протекание процессов радиационного, конвективного и кондуктивного теплообмена;
– необходимо решать сопряженные задачи, то есть согласовывать решения определяемых отдельных блоков математической модели;
– геометрия системы «индуктор-металл» имеет достаточно сложную форму.
Р и с. 2 Бесконечно длинный цилиндр, вращающийся в однородном поперечном магнитном поле постоянного тока
В подобных условиях для исследования свойств процесса нагрева и решения соответствующих задач оптимального управления удовлетворительное по точности моделирование можно получить только численными методами.
Для моделирования исследуемого процесса был выбран метод конечных элементов, где в качестве конечных элементов используются четырехугольные элементы для детали и элементов индуктора, треугольные элементы - для сетки окружающего пространства. Численная двумерная модель была разработана в среде наукоемкого расчетного программного комплекса ANSYS [2]. Алгоритм решения задачи моделирования представляет собой последовательную итерационную процедуру, включающую гармонический электромагнитный анализ и переходный тепловой анализ.
В качестве базовой рассматривается двумерная модель температурного поля в поперечном сечении заготовки радиусом R (рис. 2), поскольку такая модель, с одной стороны, является достаточно представительной для исследований общего характера, а с другой стороны - позволяет использовать ее в оптимизационных процедурах за счет относительно ограниченного времени расчетов.
Длина цилиндрической заготовки в направлении оси z считается бесконечной. Также предполагается, что заготовка находится в среде с нулевой проводимостью и проницаемостью м0 = 4р•10-7 Н/м, вращается с угловой скоростью Щ = f•(2р/60), где f - число оборотов заготовки в минуту во внешнем однородном магнитном поле с магнитной индукцией В0, T [1].
В общем случае пространственно-временное распределение температуры по объему заготовки в процессе индукционного нагрева описывается взаимосвязанной системой уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей [2].
Уравнение Максвелла для электромагнитного поля внутри проводящего материала может быть записано как
; ; ; . (1)
Здесь - вектор напряженности электрического поля; - вектор электрической индукции; - вектор магнитной индукции; - вектор напряженности магнитного поля; - плотность электрического тока проводимости; - время.
Уравнение Фурье, описывающее в наиболее общем виде температурное поле в нагреваемой заготовке, имеет вид
, (2)
где - температурное поле в поперечном сечении заготовки; - соответственно удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла; - вектор скорости перемещения заготовки; - внутренние источники тепла, возбуждаемые индуцируемыми в заготовке вихревыми токами, за счет которых происходит нагрев.
Удельная мощность тепловыделения на единицу объема нагреваемого тела, которая зависит от частоты вращения заготовки , может быть найдена путем расчета передаваемой в заготовку энергии электромагнитного поля [2]:
. (3)
Применительно к рассматриваемой технологии мощность тепловыделения [Вт/м3] может быть вычислена согласно соотношению [1]
, (4)
где - радиальная составляющая магнитного поля в цилиндрических координатах; [1].
Таким образом, для исследуемой инновационной технологии нагрева управление мощностью тепловыделения осуществляется за счет изменения скорости вращения заготовки.
Теплофизические параметры в (2) являются нелинейными функциями температуры. Совместно с соответствующими граничными и начальными условиями уравнение (2) описывает трехмерное температурное распределение в любой момент времени для любой точки по объему нагреваемой заготовки.
Параметрическое исследование математической модели
Исследование модели проводилось для процесса нагрева заготовок из алюминия со следующими параметрами:
– скорость вращения заготовки - 8, 16, 25, 35, 50 [об/с];
– диаметр нагреваемой заготовки - 215 [мм].
С целью использования модели в оптимизационной процедуре было исследовано, как влияет шаг дискретизации модели на точность вычислений. Результаты показали, что обычно 50-60 временных шагов достаточно для получения точности вычислений, удовлетворительной для инженерной практики.
Путем анализа результатов моделирования было выявлено, что влияние конфигурации катушки индуктора на радиальное распределение температуры в поперечном сечении заготовки невелико, и им можно пренебречь. При изменении конструктивных параметров катушки изменялась только величина индуцируемой мощности источников тепла для одних и тех же значений тока источника питания (расчёты проводились для величины тока 323 kA) [2].
Дальнейшие исследования были посвящены изучению влияния скорости вращения и времени нагрева на изменение температурного поля в поперечном сечении заготовки. Расчёты проводились для различных значений скорости вращения заготовки в диапазоне от 8 до 50 об/сек.
Полученные зависимости температуры поверхности и центра заготовки, перепада температур между поверхностью и центром загрузки от частоты вращения при постоянном времени нагрева свидетельствуют о том, что скорость вращения заготовки имеет значительное влияние на распределение джоулева тепла по поперечному сечению заготовки и, как следствие, на распределение температуры в этом сечении.
Таким образом, изменяя скорость вращения заготовки (время нагрева), можно влиять на распределение температуры по сечению заготовки и термоперепад между центром и поверхностью, поэтому именно скорость вращения заготовки выбирается в дальнейшем как управляющее воздействие на процесс нагрева заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока.
Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления
Для решения задачи управления нагревом заготовок, вращающихся в постоянном магнитном поле, процесс индукционного нагрева рассматривается в качестве объекта оптимизации с распределенными параметрами [3], состояние которого однозначно определяется пространственно-временным распределением температуры нагреваемого тела во времени и по радиальной координате при условии пренебрежения температурной неравномерностью по её длине, поскольку неравномерность распределения температуры в осевом направлении оказывается пренебрежимо малой по сравнению с неравномерностью по радиусу.
Холодные заготовки поступают в установку с начальным распределением температуры и должны быть нагреты в процессе вращения до заданной температуры .
Как было описано выше, изменение частоты вращения заготовки во времени , позволяющее целенаправленно изменять температурное поле заготовки, можно рассматривать в качестве сосредоточенного управляющего воздействия, подобного управлению по мощности индукционного нагрева, осуществляемого по типовой технологии [4].
Ограничение на управляющее воздействие вводится исходя из максимально и минимально возможных величин частоты вращения заготовок и записывается в виде
. (5)
В качестве критерия оптимальности для обеспечения максимальной производительности установки рассматривается минимальное время нагрева .
Применительно к исследуемому в настоящей работе классу задач оптимизации индукционная установка в конечный момент времени должна обеспечивать нагрев металлической заготовки до заданной температуры с допустимым температурным отклонением по сечению заготовки :
. (6)
Таким образом, задача оптимального по быстродействию управления процессом нагрева заготовки, вращающейся в магнитном поле постоянного тока, может быть сформулирована следующим образом.
Необходимо найти такое переменное во времени управляющее воздействие , стесненное ограничением (5), которое обеспечивает перевод нагреваемого изделия с начальным распределением температуры в заданное целевое множество, согласно (6), за минимально возможное время .
Исследование рассматриваемой инновационной технологии процесса нагрева заготовки путем её вращения в постоянном магнитном поле на численной модели температурных полей свидетельствует, что характер пространственно-временного температурного распределения при управлении по скорости вращения идентичен характеру температурного распределения при управляющем воздействии по мощности внутреннего тепловыделения в типовых технологиях нагрева в переменном электромагнитном поле [4].
Подобно известным результатам для общей нелинейной задачи оптимального по быстродействию управления процессами нестационарной теплопроводности с внутренним тепловыделением [4], стандартные процедуры принципа максимума непосредственно определяют -параметризованное представление управляющего воздействия для математической модели ОРП вида (2)-(4) в форме кусочно-постоянной функции времени (рис. 3)
, (7)
однозначно задаваемой тем самым с точностью до числа N и длительностей интервалов своего постоянства, выступающих в роли искомых параметров и зависящих только от требуемой точности нагрева в (6), где N может быть найдено по заданной величине по общей методологии альтернансного метода [3]. В итоге осуществляется процедура редукции исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации: