Дипломная (вкр): Моделирование установившихся колебаний пластин, контактирующих с упругим основанием

Моделирование установившихся колебаний пластин, контактирующих с упругим основанием

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Кафедра математического моделирования

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Бакалавра

моделирование установившихся колебаний пластин, контактирующих с упругим основанием

Работу выполнила Н.А. Рябец

Факультет компьютерных технологий и прикладной математики

Направление 010500.62 - Прикладная математика и информатика

Научный руководитель,

профессор, д-р физ.-мат наук, доцент А.В. Павлова

Нормоконтролер,

доцент, канд. физ.-мат наук М.С. Капустин

Краснодар 2014

РЕФЕРАТ

Выпускная квалификационная работа 51 с., 25 рис., 14 источников, 4 приложения.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ, ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ПОКРЫТИЕ, ПОДЛОЖКА, УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

Объектом исследования являются контактные взаимодействия упругой полосы и пластины-покрытия.

Цель работы - исследование задачи об установившихся колебаниях упругой полосы с покрытием, получение интегральных характеристик напряжений и перемещений под покрытием.

Методика исследования включает в себя использование интегрального преобразования Фурье, методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Для реализации расчетов и построения графиков использовались среды Compaq Visual Fortran 6.5 и Maple15.

Актуальность исследований определяется использованием результатов решения рассматриваемых задач в различных областях: геофизике, сейсмологии, фундаментостроении, материаловедении и пр.

СОДЕРЖАНИЕ

фурье моделирование интегральный

ВВЕДЕНИЕ

1. Основные соотношения теории оболочек и теории упругости

1.1 Общие понятия теории упругости

1.2 Некоторые сведения об оболочках

2. Постановка задачи

2.1 Задача для покрытия

2.2 Задача для упругой полосы

3. Применение интегрального преобразования Фурье к решению задачи для полосы с покрытием

3.1 Определение и свойства преобразования Фурье

3.2 Применение интегрального преобразования Фурье в задаче для полосы

3.3 Применение интегрального преобразования Фурье в задаче для покрытия

4. Определение интегральных характеристик напряжений и перемещений под покрытием

5. Использованные алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов

5.1 Поиск вещественных нулей и полюсов

5.2 Расчет перемещений и напряжений на границе покрытия и подложки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ВВЕДЕНИЕ

Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Синтез современных покрытий направлен на создание все более тонких покрытий сложной структуры, (функционально-градиентных или многослойных). В большинстве практически важных случаев свойства покрытий материалов изменяются по одной координате, ортогональной к образующей поверхности подложки, на которую наносится покрытие, или просто упрочняется приповерхностный слой основного материала.

Так для повышения прочностных свойств материалов широко используются различного рода покрытия и накладки. Исследование напряженного состояния горных пород также сводится к задачам для упругих сред с покрытиями, в качестве которых могут рассматриваться пластины и оболочки. В настоящее время центр исследований по теории пластин перемещается в область динамики. Это объясняется, прежде всего, запросами авиационной и космической техники. Однако изучение динамического поведения конструкций имеет существенное значение также для судостроения, инженерных сооружений и т.д.

Наличие покрытия может существенно влиять на процессы распространения возмущений и развитие деформаций. Именно поэтому использование конструкций с указанными свойствами требует теоретического прогнозирования их свойств.

В рамках линейной теории упругости в работе исследуется напряженно-деформируемое состояние изотропной упругой полосы, имеющей покрытие. В качестве покрытия рассматривается деформируемая пластина с усредненными по толщине параметрами.

Выполняется поиск характеристик напряжений и перемещений под покрытием с использованием интегральных преобразований Фурье.

При выборе средств создания программ для расчетов и средств построения графических интерпретаций полученных результатов вычислений, предпочтения были отданы средам Compaq Visual Fortran 6.5 и Maple15.

1. Основные соотношения теории оболочек и теории упругости

.1 Общие понятия теории упругости

Теория упругости - раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках.

Главная задача теории упругости - выяснить, какими будут деформации тела, и изучить, как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях.

В рамках теории линейной упругости исследуется напряженно-деформированное состояние упругой среды.

Механическое поведение идеально упругой среды во введенной ортогональной декартовой системе координат (х₁, х₂, х₃) описывается с помощью обобщенного закона упругости - закона Гука. В дальнейшем будут использованы обозначения х₁ = x, х₂ = y, х₃ = z. Напряжение, до которого справедлив закон Гука, называют пределом пропорциональности. Для изотропной среды можно считать, что линейные деформации зависят только от нормальных напряжений, а угловые - только от касательных:

,

,

,

, , .

Здесь , ,  - линейные относительные деформации; , ,  - нормальные напряжения; , ,  - угловые деформации (деформации сдвига); , ,  - касательные напряжения; Е - модуль упругости первого рода (модуль Юнга);  - модуль упругости второго рода (модуль сдвига); n - коэффициент поперечной деформации Пуассона. Они связаны между собой линейной зависимостью

Механическое состояние упругого тела, занимающего в начальном состоянии известный объем V с ограничивающей поверхностью S, характеризуется компонентами тензора деформации e_ij и тензора напряжений s_ij. Перемещения в точках тела, под действием заданной системы поверхностных и объемных сил, описываются вектором перемещений u={u₁, u₂, u₃} и представляет собой непрерывные и однозначные функции координат и времени. Механическое состояние упруго тела характеризуется также вектором напряжений t={t₁, t₂, t₃}, возникающих в упругом теле на некоторой элементарной площадке с нормалью . Вектор t выражается через компоненты тензора напряжений t_i=s_ijn_j, i=1,2,3.

В линейной теории упругости перемещения, деформация и напряжения связаны уравнениями движения [1]

, i=1,2,3,…,

соотношениями обобщенного закона Гука

, i,j=1,2,3,…

и геометрическими соотношениями Коши

, i,j=1,2,3.

Здесь  - вектор распределения объемных сил, x={x₁, x₂, x₃} - радиус-вектор заданной точки, r(х) и  заданное распределение плотности и коэффициентов упругости материала. У однородных тел коэффициенты упругости  и плотность r - константы.

В изотропном случае, когда упругие свойства одинаковы во всех направлениях, закон Гука имеет вид

,        (1.1.1)

где ,  - относительное изменение объема,  - символ Кронекера.

Вектор напряжений t, учитывая соотношения (1.1), выражается через перемещения t=Tu, где Т - линейный дифференциальный оператор напряжений. В изотропном случае

.

Колебания однородной упругой среды (в перемещениях) описываются уравнениями Ляме

,        (1.1.2)

где l, m - константы Ляме, r - плотность среды, вектор перемещений .

Изменения в поле смещений, вызванные некоторым внешним возмущением, например, приложенной нагрузкой, распространяются по всему объему V с некоторой конечной скоростью по определенным законам. Такой процесс распространения возмущений называется распространением упругих волн.

В настоящей работе рассматриваются установившиеся колебания с частотой . При описании волновых процессов используются понятия амплитуды и фазы волны. Обычно вводят комплексные амплитуды, т.к. они описывают одновременно амплитуду и сдвиг фазы и позволяют избавиться в выкладках от временной зависимости. С помощью комплексных амплитуд и множителя, характеризующего временную зависимость e^-iwt, уравнения линейной упругости, описывающие установившийся закон колебаний, примут вид

,

где

.

Для постановки задач теории упругости должны быть заданы граничные условия. При заданных на поверхности S тела внешних поверхностных силах граничные условия имеют вид

, i=.

Здесь q_i , i=- плотность заданных поверхностных сил.

При заданных на границе тела перемещениях имеем условия

,,

где j_i(x) - заданные на поверхности S функции.

Если на части поверхности S_s заданы напряжения (плотность поверхностных сил), а на части S_u - перемещения, граничные условия примут вид

, , .

Для свободной поверхности S_l (когда отсутствуют внешние напряжения и не заданы кинематические условия) граничные условия имеют вид

.

Встречаются и другие типы граничных условий.

В зависимости от вида граничных условий различают три типа основных задач теории упругости:

-    Основная задача первого типа состоит в определении компонент напряжений s_ij внутри области V, занятой телом, и компонент u_i(x) вектора перемещения точек внутри области V и точек поверхности S тела по заданным объемным силам F и поверхностным силам q_i.

-       Основная задача второго типа состоит в определении перемещений u_i(x) точек внутри области V и компонент напряжений s_ij по заданным силам F и по заданным перемещениям u_S на поверхности тела.

-       Основная задача третьего типа (смешанная задача) состоит в том, что по заданным поверхностным силам на одной части поверхности S_s и по заданным перемещениям на другой части поверхности тела S_u, требуется определить компоненты напряжений s_ij(x) и перемещений u_i(x). Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , чтобы реализовать заданные перемещения  на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения  точек поверхности .

.2 Некоторые сведения об оболочках

Тонкой оболочкой называется тело, одно из измерений которого (толщина оболочки) значительно меньше двух других [2, 3]. Толщину оболочки будем предполагать постоянной. Поверхность, делящая пополам толщину оболочки, называется срединной поверхностью. Тонкая оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется тонкой пластинкой.

Оболочки и пластинки находят на протяжении последних десятилетий большое распространение в технике при моделировании резервуаров, трубопроводов, купольных и иных покрытий зданий и т.д. Подобные конструкции могут испытывать, наряду со статическими усилиями, быстро изменяющиеся нагрузки или нагрузки, установившиеся во времени. Поведение конструкций при действии таких нагрузок обладает рядом особенностей. Поэтому исследование поведения оболочек и пластинок при динамических воздействиях является весьма актуальным.