Дипломная (вкр): Моделирование установившихся колебаний пластин, контактирующих с упругим основанием

Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к тонким оболочкам, является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. При этом для однослойной однородной оболочки координатную систему естественно связать со срединной поверхностью оболочки. Одним из путей приведения трехмерной задачи к двумерной является принятие гипотезы недеформируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа - Лява).

К известным уравнениям, моделирующим поперечные изгибы пластин, относятся следующие.

Уравнение поперечных колебаний пластины, учитывающее влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига имеет вид [4]

.   (1.2.1)

Здесь  - изгиб срединной поверхности пластины,  - нагрузка, действующая на верхнюю поверхность пластины,  - напряжения под пластиной,  - жесткость пластины,  - толщина пластины,  - модуль сдвига,  - коэффициент Пуассона пластины, коэффициент .

Из уравнения (1.2.1) как частный случай вытекает уравнения колебаний пластины с учетом сдвига

.

Другим частным случаем является уравнение поперечных колебаний пластины с учетом момента инерции

.

Представленные модели являются удобными при решении многих статических и динамических задач, получаемые при этом результаты обладают достаточной точностью для практических приложений.

2. Постановка задачи

Рассматривается плоская задача об установившихся колебаниях упругой полосы с покрытием. Колебания предполагаются гармоническими установившимися с частотой . Ось  введенной декартовой системы координат совпадает с верхней границей полосы (рисунок 1).

Рисунок 1 - Упругая полоса с покрытием

Предполагается, что материалы покрытия и подложки являются линейными однородными и изотропными.

.1 Задача для покрытия

В качестве покрытия рассматривается деформируемая пластина с усредненными по толщине параметрами, вертикальные колебания которой описывается дифференциальным уравнением

          (2.1.1)

где h - толщина покрытия,  - соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона,  - прогиб срединной поверхности,  - напряжение под пластиной,  описывает внешние воздействия на верхнюю поверхность пластины.

При этом заданы следующие граничные условия и условия сопряжения пластины и упругой подложки:

,

.

Далее рассматриваем установившийся (с частотой ) режим колебаний, т.е.

,

,

.

В дальнейшем, в силу линейности задачи, экспоненциальный множитель  можно опустить. При этом уравнение (2.1.1) примет вид

(2.1.2)

Здесь использовано обозначение .

.2 Задача для упругой полосы

В изотропном случае, когда упругие свойства тела одинаковы во всех направлениях, закон Гука выражается только через две независимые константы Ляме - .

Для установившихся гармонических колебаний инерционный член  в (1.1.2) принимает вид - . Тогда уравнение Ляме для упругой полосы запишется в виде

.

Или в покомпонентной записи

,    (2.2.1)

.  (2.2.2)

В дальнейшем предполагается, что объемные силы отсутствуют, т.е. . Таким образом, для плоской задачи уравнения Ляме для упругой полосы примут вид

,

где  - вектор перемещения слоя.

В рассматриваемой задаче полоса жестко скреплена с недеформируемым основанием, т.е. на нижнем основании  перемещения равны нулю

.  (2.2.3)

Напряжение на границе покрытия при  в рассматриваемой задаче описываются вектором напряжений

.     (2.2.4)

На бесконечности требуется выполнение условий:

 при ,

и условий излучения. В качестве условия излучения выбран принцип предельного поглощения [5,6], когда в качестве решения задачи для идеально упругой среды берется равномерный предел решения соответствующей задачи для вязкоупругой среды (среды с поглощением) при стремлении вязкости к нулю.

Итак, относительно неизвестных перемещений  имеем краевую задачу (2.2.1) - (2.2.4).

3. Применение интегрального преобразования Фурье к решению задачи для полосы с покрытием

.1 Определение и свойства преобразования Фурье

Для решения различных физических и технических проблем широко применяются аналитические методы исследования, в частности методы интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс. Интегральные преобразования занимают весьма важное место в арсенале современных методов решения задач математической физики.

Если функция , определена на , то ее трансформанта Фурье определяется по формуле

.     (3.1.1)

Ядро может иметь вид , но это не принципиально.

Комплексное преобразование Фурье существует далеко не для всех функций. Очевидно, для существования преобразования Фурье для функции  необходимо, чтобы она была определена на всей числовой оси  и .

Если для функции  существует преобразование Фурье (3.1.1), то обращение его можно определить как

.       (3.1.2)

Преобразования Фурье обладает следующими свойствами [7]:

а)     

б)     

в)     

.2 Применение интегрального преобразования Фурье в задаче для полосы

Геометрия задачи позволяет применить преобразование Фурье по переменной  к уравнениям (2.2.1), (2.2.2) и граничным условиям (2.2.3), (2.2.4).

В результате получим систему дифференциальных уравнений

         (3.2.1)

Штрихом здесь и далее обозначается производная по , заглавными буквами обозначены Фурье образы соответствующих компонент амплитуд вектора перемещений

С учетом условий, при  получаем

   (3.2.2)

При

      (3.2.3)

Используя для решения системы (3.2.1) с граничными условиями (3.2.2), (3.2.3) алгоритм, изложенный в [8], выразим искомые перемещения на границе пластины-покрытия и упругой полосы через заданную нагрузку и получим

       (3.2.4)

Матрица  имеет вид , где

, ,

, , , ,

,

Здесь  - плотность, модуль сдвига и коэффициент Пуассона среды полосы,

,

Используя эти соотношения можно построить функциональные соотношения на границе покрытия и подложки.

.3 Применение интегрального преобразования Фурье в задаче для покрытия

Аналогично изложенному в 3.2, можно применить преобразование Фурье по переменной x к уравнению (2.1.2).

Тогда уравнение (2.1.2) в трансформантах Фурье можно представить

  (3.3.1)

где  

Иначе можно записать

.  (3.3.2)

где

Таким образом, получено соотношение, связывающее перемещения и напряжения под покрытием.

4. Определение интегральных характеристик напряжений и перемещений под покрытием

Объединим полученные результаты перемещений и напряжений со стороны слоя и со стороны покрытия.

Для упругой полосы было получено соотношение (3.2.4)

Аналогично для покрытия (3.3.2)

Учитывая условия сопряжения на границе покрытия и упругой подложки, получим соотношение для напряжения на границе слоя и покрытия:

.         (4.1.1)

Где  , , , , ,

,

Кроме того, перемещения между покрытием и подложкой могут быть выражены через внешние воздействия:

(4.4.2)

где  и  описываются соотношениями, приведенными выше.

5. Использованные алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов

.1 Поиск вещественных нулей и полюсов

Для исследования дисперсионных характеристик упругой полосы с покрытием необходимо произвести поиск вещественных нулей и полюсов функции , описанной в соотношении для перемещений в предыдущем разделе. С этой целью была создана программа на языке Fortran, которая осуществляла поиск корней в зависимости от значения частоты колебаний .

Выбор языка Fortran был обусловлен его предрасположенностью к использованию в вычислительных целях, функциональностью и наличием прикладной библиотеки IMSL.