Курсовая работа (т): Модель росту популяцій Ферхюльста

Модель росту популяцій Ферхюльста

ЗМІСТ

ВСТУП

. АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Моделі росту популяцій Ферхюльста

.1 Початкові дані

.2 Особливі точки

.3 Дослідження моделі на основі характеристичного рівняння

.4 Умови стійкості

.5 Фазовий портрет особливої точки

. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ СИСТЕМИ ПРИ РІЗНИХ ЗНАЧЕННЯХ ПАРАМЕТРІВ

.1 Випадок лінеаризованої системи

.2 Випадок нелінійної системи

.3 Економічна інтерпретація отриманих результатів дослідження

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

В даній курсовій роботі була модель росту популяцій Ферхюльста.

Метою даної роботи є застосування теорії дослідження динамічних систем в дослідженні моделі економічної динаміки.

Об’єктом дослідження в курсовій роботі є динамічне середовище, що описує модель в розрізі зміни чисельності населення.

Предметом виступає модель росту популяцій Ферхюльста.

Виходячи з мети були поставлені наступні завдання:

–  знайти особливі точки системи;

–       визначити тип та стійкість особливих точок;

–       зробити необхідні розрахунки та побудувати фазові портрети;

–       перевірити правильність результатів дослідження числовим моделюванням;

–       прокоментувати результати аналізу з точки зору реальної економіки.

1. АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Моделі росту популяцій Ферхюльста

1.1 Початкові дані

Дано систему рівнянь:

     (1.1)

де N - чисельність населення Землі;

K - рівень технологічного розвитку;

r - швидкість росту чисельності населення;

rN - додаток, що дає інформацію про необмежений ріст населення;

- негативний вплив взаємодії населення на швидкість росту чисельності;

r>0.

1.2 Особливі точки

Система, що досліджується складається з двох диференційних рівнянь і відповідно двох невідомих- чисельність населення Землі та рівень технологічного розвитку. Також система включає в себе два інших параметрів, які можуть приймати різні значення. Тому проведемо теоретичне моделювання з оглядом всіх можливих станів системи і визначенням умов її стійкості.

Для знаходження точок рівноваги системи необхідно прирівняти похідні  та  до нуля. Отримаємо (1.2):

  (1.2)

 (1.3)

Звідси слідує, що N=0, K - будь-яке число.

З першого рівняння маємо перший випадок:

 (1.4)

Відповідно К може приймати будь-які значення.

Другий випадок:

  (1.5)

  (1.6)

  (1.7)

Отже, у досліджуваній системі у першому випадку при N=0 ми маємо рівноважну точку з координатами (0;0), у другому випадку, коли bK-N=0 ми маємо пряму, що лежить на осі Оу, при цьому К може набувати будь-яких значень. При цьому особлива точка (0;0) задовольняє рівняння bK-N=0, а отже лежить на даній прямій. Тому в подальшому будемо досліджувати дану особливу точку.

1.3 Дослідження моделі на основі характеристичного рівняння

Для подальшого дослідження моделі проведемо її лінеаризацію. Відповідно отримаємо систему:

  (1.8)

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи, як частинні похідні по u та v:

  (1.9)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) в матрицю 1.9 маємо:

  (1.10)

У нашому випадку det=0, отже система має пряму точок рівноваги.

Складемо характеристичне рівняння за наступною формулою:

  (1.11)

де=a11+ a22;

 = a11*a22 - a11*a21.

Підставляючи коефіцієнти матриці Якобі отримуємо наступний вигляд характеристичного рівняння:

  (1.12)

Відповідно корені характеристичного рівняння дорівнюють 0.

Так як у першому випадку det=0, то ми маємо пряму точок рівноваги, що аналогічно другому випадку. Отже, аналогічні висновки по кореням характеристичного рівняння можна застосувати і для другого випадку особливої точки.

1.4 Умови стійкості

Знайдемо слід та детермінант матриці Якобі за такими формулами:

  (1.13)

  (1.14)

Так як детермінант і слід матриці системи дорівнюють 0, корені характеристичного рівняння дорівнюють 0, з цього випливає, що всі положення рівноваги нестійкі.

1.5 Фазовий портрет особливої точки

Побудуємо рівняння фазових траєкторій:

  (1.15)

  (1.17)

Де С - будь-яка константа.

Отже, фазові траєкторії лежать на прямих  і паралельні прямій точок спокою.

Схематично зобразимо фазовий портрет системи:

Рисунок 1.1 - Фазовий портрет лінеаризованої системи

2. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ СИСТЕМИ ПРИ РІЗНИХ ЗНАЧЕННЯХ ПАРАМЕТРІВ

2.1 Випадок лінеаризованої системи

Розглянемо випадки, коли параметри a, r системи 1.8 приймають різні значення.

Перший випадок: a>0, r>0.

Задамо значення параметрів a, r системи 1.8. Отримаємо:

 (2.1)

При даних значеннях отримаємо систему наступного вигляду:

  (2.2)

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи, як частинні похідні по u та v:

  (2.3)

Знайдемо детермінант та слід матриці відповідно до формул 1.13 та 1.14:

  (2.4)

  (2.5)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0. За даних умов отримаємо наступний вид характеристичного рівняння:

Корені характеристичного рівняння дорівнюють 0. Отже система має пряму точок рівноваги.

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має вигляд:

Отже отримаємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.1 - Фазовий портрет лінеаризованої системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.3) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.2 - Алгоритм побудови векторного поля лінеаризованої системи

Рисунок 2.3 - Векторне поле лінеаризованої системи

Другий випадок: a<0, r>0,

Задамо значення параметрів a, r системи 1.8. Отримаємо:

 (2.8)

При даних значеннях отримаємо систему наступного вигляду:

 (2.9)

Аналогічно до попередніх результатів знаходимо матрицю Якобі, її детермінант та слід:

  (2.10)

  (2.11)

  (2.12)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0, а також корені характеристичного рівняння дорівнюють 0. Отже система також має пряму точок рівноваги.

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має вигляд:

 (2.13)

Отже отримаємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.4 - Фазовий портрет лінеаризованої системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.6) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.5 - Алгоритм побудови векторного поля лінеаризованої системи

Рисунок 2.6 - Векторне поле лінеаризованої системи

Третій випадок: a>0, r<0.

Задамо значення параметрів a, r системи 1.8. Отримаємо:

  (2.14)

При даних значеннях отримаємо систему наступного вигляду:

  (2.15)

Аналогічно до попередніх результатів знаходимо матрицю Якобі, її детермінант та слід:

особливий модель лінеаризований фазовий

  (2.16)

  (2.17)

 (2.18)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0, а також корені характеристичного рівняння дорівнюють 0. Отже система також має пряму точок рівноваги.

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має вигляд:

  (2.19)

Отже отримаємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.7 - Фазовий портрет лінеаризованої системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.9) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.8 - Алгоритм побудови векторного поля лінеаризованої системи

Четвертий випадок: a<0, r<0.

Задамо значення параметрів a, r системи 1.8. Отримаємо:

  (2.20)

При даних значеннях отримаємо систему наступного вигляду:

  (2.21)

Аналогічно до попередніх результатів знаходимо матрицю Якобі, її детермінант та слід:

  (2.22)

 (2.23)

  (2.24)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0, а також корені характеристичного рівняння дорівнюють 0. Отже система також має пряму точок рівноваги.

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має вигляд:

 (2.25)

Отже отримаємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.10 - Фазовий портрет лінеаризованої системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.12) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.11 - Алгоритм побудови векторного поля лінеаризованої системи

Рисунок 2.12 - Векторне поле лінеаризованої системи

2.2 Випадок нелінійної системи

Для порівняння нелінійної системи із лінеаризованою задамо аналогічні значення параметрів в системі та побудуємо векторне поле та фазовий портрет.

Отримаємо систему наступного вигляду для першого випадку параметрів (2.1):

  (2.26)

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи, як частинні похідні по K та N:

  (2.27)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0. За даних умов отримаємо наступний вид характеристичного рівняння:

  (2.28)

Корені характеристичного рівняння дорівнюють 0. Отже система має пряму точок рівноваги.

Побудуємо рівняння фазових траєкторій:

 (2.29)

  (2.30)

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має наступний вигляд:

  (2.31)

Маємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.13 - Фазовий портрет нелінійної системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.15) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.14 - Алгоритм побудови векторного поля нелінійної системи

Рисунок 2.15 - Векторне поле лінеаризованої системи

Відповідно до випадку (2.8):

  (2.32)