Курсовая работа (т): Модель росту популяцій Ферхюльста

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи:

  (2.33)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0. Корені характеристичного рівняння дорівнюють 0.

Побудуємо рівняння фазових траєкторій:

  (2.34)

  (2.35)

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має наступний вигляд:

  (2.36)

Маємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.16 - Фазовий портрет нелінійної системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.18) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.17 - Алгоритм побудови векторного поля нелінійної системи

Рисунок 2.18 - Векторне поле лінеаризованої системи

Відповідно для випадку (2.14):

 (2.37)

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи:

  (2.38)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0. Корені характеристичного рівняння дорівнюють 0.

Побудуємо рівняння фазових траєкторій:

  (2.39)

  (2.40)

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має наступний вигляд:

  (2.41)

Маємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.19 - Фазовий портрет нелінійної системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.21) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.20 - Алгоритм побудови векторного поля нелінійної системи

Рисунок 2.21 - Векторне поле лінеаризованої системи

Відповідно для випадку (2.20):

  (2.42)

Знаходимо матрицю Якобі отриманої системи:

  (2.43)

Підставляючи координати особливої точки (0;0) отримаємо випадок, коли детермінант і слід матриці дорівнюють 0. Корені характеристичного рівняння дорівнюють 0.

Побудуємо рівняння фазових траєкторій:

  (2.44)

  (2.45)

Фазові траєкторії лежать на прямій, що має наступний вигляд:

  (2.46)

Маємо наступний фазовий портрет:

Рисунок 2.22 - Фазовий портрет нелінійної системи

Використовуючи засоби MathCad побудуємо векторне поле даної системи (Рисунок 2.24) за наступним алгоритмом:

Рисунок 2.23 - Алгоритм побудови векторного поля нелінійної системи

Рисунок 2.24 - Векторне поле лінеаризованої системи

Так як у відповідності до теореми Хартмана-Гробмана, якщо коефіцієнти матриці Якобі лінеаризованої системи мають нульові коефіцієнти, не можна нічого сказати про нелінійну систему. Для можливості перенесення результатів дослідження лінеаризованої системи на нелінійну було проведено дослідження обох систем при різних варіантах вхідних параметрів і виявилось, що поведінка систем співпадає при відповідній рівності параметрів.

Отже, ми можемо перенеси висновки досліджень із лінеаризованої системи на нелінійну.

2.3 Економічна інтерпретація отриманих результатів дослідження

Розглянута моделі росту популяцій Ферхюльста складається із системи двох диференційних рівнянь, які залежать від двох параметрів.

Змінні K i N повинні бути додатні, так як це рівень технологічного розвитку та населення Землі відповідно. У першому випадку розглядався випадок особливої точки, коли дані змінні дорівнюють 0, що не має ніякого економічного змісту і настання такої ситуації неможливе у реальному економічному середовищі. Досліджувана система виявилася нестійкою.

В результаті дослідження першого випадку особливої точки було зроблено висновок, що вона є однією з точок рівноваги, що лежать на прямій. Отже економічний зміст другого випадку положення рівноваги для моделі аналогічний до вже розглянутого. Не існує ситуацій, коли населення Землі чи рівень технологічного розвитку нульові.

ВИСНОВОК

У результаті виконання даної курсової роботи було розглянуто моделі росту популяцій Ферхюльста.

У відповідності до поставлених завдань:

Було знайдено особливі точки системи. Дана система має два випадки особливих точок рівноваги, при дослідженні яких виявили, що точка рівноваги (0;0) лежить на прямій особливих точок і є її початком. Досліджено систему на стійкість. Дана система є нестійкою.

У відповідності до теореми Хартмана-Гробмана не можна було нічого сказати про нелінійну систему, так як у матриці Якобі присутні нульові значення. Для можливості перенесення результатів лінеаризованої системи на нелінійну було проведено дослідження поведінки системи при різних значеннях параметрів. Побудовані фазові портрети та векторні поля лінеаризованої системи порівнювались із нелінійною системою і виявилось, що результати дослідженої лінеаризованої системи можна перенести на нелінійну систему.

З точки зору реальної економіки особлива точка з координатами (0;0) не має економічного змісту. При даних умовах населення Землі та рівень технологічного розвитку дорівнюють 0, що неможливо у реальному економічному середовищі.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.         Кочура, Є.В. Моделювання макроекономічної динаміки [Текст] : навч. посіб. / Є.В. Кочура, В.М. Косарів. - Київ: Центр навчальної літератури, 2003. - 236 с. - ISBN 5-279-03037-6.

2.      Беллман, P. Дифференциально-разностные уравнения [Текст] / Р. Беллман, К. Кук. - М : МИР, 1967. - 548 с. - ISBN 5-256-0081-7.

.        Кирьянов, Д.В. Самоучитель Mathcad 12 [Текст] / Д.В. Кирьянов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 576 c. - ISBN 5-94157-522-Х.

.        Клебанова, Т.С. Моделирование экономической динамики [Текст] : учеб. пособие / Т.С. Клебанова, Н.А. Дубровина, О.Ю. Полякова [и др.]. - Х.: ИД «ИНЖЭК», 2005. - 244 с. - ISBN 966-8515-99-4.

.        Милованов, В.П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация : [Текст] / В.П. Милованов. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 264 с. - ISBN 5-8360-0301-7.

.        Пугачева, Е.Г. Самоорганизация социально-экономических систем [Текст] : учеб. пособие / Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко. - Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2003. - 172 с. - ISBN 5-7253-0834-0.