Чтобы найти величину A, сначала составим интегральную функцию:

По условию задачи

μ = 300000 - среднее значение;

σ = 50000 - стандартное отклонение;

x = A - величина, которую нужно найти.

Составляем равенство

.

По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25.

Поэтому составляем равенство

и находим его решение:

A = 287300.

Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.

Закрытый интервал

Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z1 до z2. То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач - следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.

Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период - случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.

Решение. Стандартизируем нижнюю границу интервала:

.

Стандартизируем верхнюю границу интервала:

.

По статистическим таблицам находим вероятности, соответствующие нижней и верхней границам: 0,38974 и 0,64803.

Из большего значения вычитаем меньшее:

.

Ответ: вероятность того, что прибыль попадет в заданный интервал, составляет 0,26 или 26%.

Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ=10 и σ=0,071. Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05.

Решение. Искомую вероятность можно получить, если из единицы вычесть вероятность попадания размеров детали в интервал от 9,95 до 10,05.

Стандартизируем нижнюю границу интервала:

.

Стандартизируем верхнюю границу интервала:

.

По статистическим таблицам находим вероятности, соответствующие нижней и верхней границам: 0,24196 и 0,75804.

Из большего значения вычитаем меньшее:

Находим вероятность брака:

.