О некоторых классах N-связностей многообразий Кенмоцу
Букушева Алия Владимировна, кандидат наук, доцент
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
В терминах N-связности находятся необходимые и достаточные условия принадлежности почти контактного метрического многообразия к классу многообразий Кенмоцу.
Введение
Начало изучению геометрии многообразий Кенмоцу положила работа [11]. Многообразия Кенмоцу обладают интересными геометрическими свойствами, благодаря чему занимают почетное место в исследованиях геометрических свойств почти контактных метрических многообразий [12]. Наибольшим интересом среди связностей, определяемых на почти контактных метрических многообразиях [5, 6, 8, 9], пользуется четвертьсимметрическая связность, введенная в 1975 г. С. Голабом [10]. Другой класс связностей с кручением образуют N-связности [5, 6], включающие в себя, в частности, связности Танака-Вебстера, Схоутена-ван Кампена. Метрическая N-связность характеризуется следующими условиями [5, 6]:
1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , .
Внутренняя связность и N-связность
Пусть M -- гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, , -- модуль гладких векторных полей на M. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура [1, 12], где -- тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, и -- вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g -- (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство . Пусть D -- гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой , -- его оснащение: .
Карту многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если [3]. Пусть -- проектор, определяемый разложением , и -- адаптированная карта. Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: . Неголономному полю базисов соответствует поле кобазисов .
Используемые в работе допустимые тензорные поля [4, 5], определяемые равенствами , , , , , в адаптированных координатах получают следующее координатное представление:
, , , .
Пусть -- внутренняя линейная связность [2, 3], т.е. отображение , удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. ,
3. ,
где -- модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения . Пусть -- связность Леви-Чивита. N-связность определяется с помощью равенства [5, 6]:
.
В адаптированных координатах равенство переписывается в виде:
внутренний связность метрический тензор
,
.
Допустимое тензорное поле, определяемое равенством
,
где Q=1-P, называется первым тензором кривизны Схоутена. Координатное представление первого тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:
.
Тензор кривизны N-связности выражается через и второй тензор кривизны Схоутена [5,6] следующим образом:
,
.
Многообразие Кенмоцу
Многообразие Кенмоцу характеризуется следующим равенством [12]:
.
Теорема. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство
.
Доказательство. Приведем доказательство необходимости. Воспользуемся тем, что . Отсюда, в частности следует, что , .
Кроме того, выполняется равенство . Таким образом, .
Используя равенство убеждаемся в справедливости теоремы.
Замечание. Условие примет более простой вид в случае, когда .
Последнее, в частности, выполняется, когда . В этом случае равенство сводится к равенству.
Так как для многообразия Кенмоцу , то в случае N-связность не является метрической.
Пример метрической N-связности многообразия Кенмоцу.
Определим на пространстве структуру многообразия Кенмоцу, полагая, что в канонических координатах (x,y,z) выполняются равенства:
, , , , , , .
Не трудно проверить, что связность с коэффициентами , является метрической N-связностью.
Список литературы
1. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
2. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
3. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
4. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
5. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
6. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
7. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
8. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138-147.
9. Bagewadi C.S., Prakasha D.G., Venkatesha Projective curvature tensor on a Kenmotsu manifold with respect to semi-symmetric metric connection, Stud. Cercet. Stiint. Ser. Mat. Univ. Bacau. 2007. 17. P. 21-32.
10. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections, Tensor. N.S. 1975. 29. P. 293-301.
11. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1972. V. 24. P. 93-103.
12. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania University of Brasov, Brasov, 2007. iv+160 pp.