Материал: Определение и основные функции собственного капитала банка

Ожидаемая полезность каждого варианта подсчитывается следующим образом:

, причем ,

где  - ожидаемая полезность,  - вероятность исхода,  - полезность исхода.

После чего индивид сравнивает ожидаемые полезности и осуществляет выбор, стремясь максимизировать полезность.

·     Полнота означает возможность сравнивать и ранжировать любые лотереи;

·        Транзитивность говорит нам о том, что если лотерея A предпочтительнее лотереи B, а B предпочтительнее C, то и A предпочтительнее C;

·        Непрерывность заключается в том, что если есть две различных лотереи A и B, причем A предпочтительнее B, то всегда существует такая вероятность p, что U(C)=p*U(A)+(1-p)*U(B). Другими словами, всегда найдется третья лотерея C, которая также привлекательная, как линейная комбинация двух других;

·        Независимость. Если существуют две различных лотереи A и B, причем A предпочтительнее B, тогда для любой C:

p*U(A)+(1-p)*U(С)>p*B+(1-p)*U(C).

Основным выводом и главной идеей теории ожидаемой полезности является тот факт, что инвестор выбирает не максимальный ожидаемый выигрыш, а максимальную ожидаемую полезность.

Безрисковым или детерминированным эквивалентом называется случайная величина, математическое ожидание которой равно ожидаемой функции полезности.

Рисунок №3. Безрисковый эквивалент.

Приносимый инвестиционным портфелем доход является случайной величиной. При наличии такого портфеля, можно, не принимая во внимание характер случайного распределения, рассчитать безрисковый эквивалент определенной ранее функции полезности, тем самым не беря в расчет случайность распределения дохода. Это умозаключение является квинтэссенцией теории фон Неймана-Моргенштерна, которая применяется в управлении финансовыми рисками. На графике ниже безрисковый эквивалент отмечен как S.

После определения функции полезности, чтобы перейти к безрисковому эквиваленту, необходимо взять обратную функцию полезности от ожидаемой полезности:

,

где x - случайная величина дохода, EU(Y) - ожидаемая полезность.

Отсюда следует, что для вогнутой функции полезности (непринятие риска) безрисковый эквивалент будет меньше ожидаемого выигрыша, для выпуклой - наоборот. Если инвестор не приемлет риск, то безрисковый вариант поведения будет для него предпочтительнее результата лотереи, достигаемого с тем же математическим ожиданием, но включающим в себя риск.

Теория ожидаемой полезности нашла широкое применение на финансовых рынках. Основными сферами её использования являются:

·     Интерпретация поведения инвесторов на рынке. В реальности же применение теории ожидаемой полезности для таких целей является нецелесообразным, так как поведение экономических агентов зависит от большего числа параметров, чем это возможно объяснить с помощью теории ожидаемой полезности;

·        Прогнозирование развития событий в будущем хоть и можно отнести к одной из сфер применения, однако точность получившихся результатов будет крайне низкой опять же из-за неучтенных факторов и постоянного изменения параметров;

·        Попытка объяснить прошлое поведение системы;

·        Модель используется для формирования правил поведения, например, при оценке достаточности капитала.

2.2 Составление модели ожидаемой полезности

В качестве исследуемой случайной величины было выбрано отношение потерь банка к его капиталу. Предположение о распределении этой случайной величины делается в следующей главе, сейчас же нам важно только отметить, что эта случайная величина является непрерывной.

Теперь необходимо задать основную характеристику модели - отношение к риску, за это и отвечает функция полезности. В работе рассматриваются две последние из вышеупомянутых функций - экспоненциальная и показательная. Такой выбор не случаен, поскольку обе функции характеризуют поведение индивида, не склонного к риску, каковым и является банк.

Напомним, что индивид с экспоненциальной функцией полезности вне зависимости от величины возможных потерь фиксирует в абсолютном выражении максимальную сумму, с которой он готов расстаться. Такой сценарий и присущ банковскому сектору. Ведь потери будут отражаться на капитале банка, который является постоянной величиной и не может меняться в зависимости от размера портфеля кредитов.

А отношение к риску индивида с показательной функцией полезности означает, что чем большим портфелем он управляет, тем большие потери он готов понести.

Таким образом, получается, что рассмотрение каждой из этих функций интересно с точки зрения банковского сектора. С одной стороны, капитал величина относительно постоянная, значит и потери он может покрывать равные только определенному значению, с другой стороны, увеличивающийся кредитный портфель банка требует и увеличения капитала, которого можно достичь, например, привлечением нового субординированного займа или сокращением дивидендов, а это значит, что банк готов понести бОльшие потери.

В следующей главе подробно описан процесс оценки каждой из этих функций.

Поскольку мы имеем дело с непрерывной случайной величиной и функцией полезности от нее, которая тоже является непрерывной случайной величиной, то формула для ожидаемой полезности будет выглядеть следующим образом:

,

где  - функция полезности,

 - предполагаемое распределение потерь к капиталу.

3. Применение модели на статистических данных

В данной главе делаются определенные предположения относительно распределения потерь банков, строится модель с использованием существующих данных и анализируется целесообразность применения такой модели.

3.1 Основные предположения

Динамическая модель

Для корректного измерения общего финансового риска банка необходимо построить распределение потерь при одновременном проявлении сразу нескольких видов риска.

Основной проблемой при построении распределения убытков является, тот факт, что со временем меняются не только параметры выбранного распределения, но и сами распределения. В своей диссертации под названием «Методы оценки и управления совокупным финансовым риском коммерческого банка» Шевченко Е.С. провела количественный анализ временных рядов, показывающих относительное изменение дневных доходностей торгового портфеля ценных бумаг за три года. В результате оказалось, что вид распределения, характерного для выбранного временного ряда, неустойчив и меняется во времени. Основным выводом из этого анализа является то, что риск необходимо рассматривать не просто как случайную величину, а как случайный процесс.

Таким образом, при построении портфельных моделей необходимо иметь в виду, что распределение риска в реальности очень редко имеет характер логнормального и что разным компонентам рисков могут соответствовать различные виды распределений (Пуассона, Коши, Стьюдента и другие.).

Поскольку параметры и форма самого распределения постоянно меняются, то для оценки совокупного риска должен использоваться исторический подход, должна регулярно проводиться проверка выбора адекватности выбранного распределения до выявления новых тенденций.

Модель CreditMetrics

Стоит упомянуть о модели, разработанной в банке J. P. Morgan. Она основана на оценке будущего распределения изменений стоимости кредитного портфеля за определенный промежуток времени, например, год. Оценка риска осуществляется на основе изменений рыночной стоимости обязательств заемщиков банка.

Крупнейшие рейтинговые агентства являются основными источниками данных для данной модели. Периодически агентства публикуют статистическую информацию о вероятностях перехода из одной рейтинговой категории в другую, которые образуют так называемую матрицу переходных вероятностей.

В дальнейшем необходимо определить горизонт прогноза и форвардную цену по каждому из кредитов, входящих в портфель. Очевидно, что ставка дисконтирования должна зависеть от будущего предполагаемого рейтинга заемщика:

,

где  - будущие процентные платежи по долгу,

 - конечный кредитный рейтинг заемщика,

 - конечный кредитный рейтинг заемщика,

k - номер кредитного рейтинга.

После чего можно посчитать математическое ожидание:

.

Затем можно относительно легко оценить коэффициенты попарной корреляции доходностей активов компании, входящих в кредитный портфель:

,

где .

Полученная ковариационная матрица и вектор математических ожиданий и дисперсий изменений стоимости каждого отдельного актива являются входными данными при моделировании совокупных потерь по портфелю методом Монте-Карло.

Однако в нашей модели важна не динамика (рассматриваются статистические данные по банкам лишь на одну дату), поэтому для упрощения модели, а также в силу нехватки всех необходимых данных по такому объему российских банков, было сделано допущение о том, что кредитные потери банков предполагаются логнормально распределенными.

функция распределения.

Это распределение имеет крутой левый и пологий правый спад, то есть имеет положительную асимметрию. Логнормальное распределение можно использовать в качестве первого приближения для описания относительного изменения потерь.

3.2 Выбор данных и построение модели

В качестве необходимых статистических данных были выбраны показатели достаточности общего капитала, активы, взвешенные с учетом риска, размеры кредитных портфелей и уровни резервирования кредитных портфелей для порядка 250 крупнейших банков Российской Федерации по состояния на 1 февраля 2016 года. В табличке ниже представлены данные по 10 крупнейшим по размерам активов банков РФ.

Таблица №1. Статистические данные.

Как уже было сказано ранее, при построении модели использовалось логнормальное распределение кредитных потерь, однако для нормировки, а также для возможности в дальнейшем сравнивать полученные результаты с показателем достаточности капитала, строились не распределения кредитных потерь для банков из выборки, а распределения отношения потерь к общему капиталу (Losses/CAR). Очевидно, что разделив случайную величину на константу ее распределение по-прежнему можно считать логнормальным.

Математическим ожиданием этого распределения, очевидно, является совокупность резервов по всем кредитом, входящим в кредитный портфель банка. Это именно та величина, которую банк «ожидает» потерять.

Таким образом, мы получаем первое уравнение:

;

Но для того, чтобы найти оба неизвестных параметра распределения необходима система из двух уравнений.

Мы знаем, что согласно требованиям Базель и Центрального Банка Российской Федерации показатель достаточности общего капитала не должен быть меньше, чем 8 процентов. Как уже отмечалось в первой главе, регулятивный капитал банка служит определенным гарантом стабильности и именно он должен покрывать непредвиденные банковские потери - unexpected losses. Поскольку капитал должен покрывать не меньше, чем 8% от активов, взвешенных с учетом риска, то это означает, что unexpected losses - это и есть 8%, умноженные на RWA.

Принимая во внимание тот факт, что согласно Базель unexpected losses - это 99-процентная квантиль распределения потерь банка (а в нашем случае 99-процентная квантиль - это 8%*RWA/CAR), получаем второе уравнение для нашей системы: