Материал: Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах. труд. ФГБОУ В.О., Воронежский г.т.и

Для состоятельной идентификации неизвестных коэффициентов системы взаимозависимых регрессионных уравнений (1) применим косвенный метод наименьших квадратов [3]. Сначала обычным методом наименьших квадратов найдём регрессионное полиномиальное представление каждого критериального фактора без учёта их взаимозависимости:

Подставим регрессионные представления (2) в обе части каждого из двух уравнений системы (1):

Приравнивая коэффициенты при независимых регрессорах

ݔ , ݔ ,…, ݔ ,…, ݔ , ݔ ,…, ݔ ,…

получим для первого уравнения систему линейных алгебраических уравнений

Аналогично, для второго уравнения получим систему

Считая идентифицируемый коэффициент свободной неизвестной, из системы (3) найдём выборочные оценки идентифицируемых коэффициентов системы (1):

Аналогично, считая идентифицируемый коэффициент свободной неизвестной, из системы (4) найдём выборочные оценки оставшихся идентифицируемых коэффициентов системы (1):

Отметим независимый порядок идентификации коэффициентов как внутри счётных систем формул (5) и (6), так и между этими системами. Следовательно, сходимость полученных разложений в системе (1) зависит лишь от сходимости разложений (2) в случае использования рядов с бесконечным числом слагаемых.

45

Зависимость полученных решений (5), (6) от произвола выбора коэффициентов , взаимного влияния критериальных факторов оптимальности ݕ , ݕ показывает неоднозначную идентифицируемость коэффициентов системы (1). С одной стороны, это признак грубости использованной модели (1) реального производства. Например, добиться однозначной идентифицируемости можно учётом межфакторной корреляции как самих управляющих регрессоров ݔ , ݔ , так и их степеней.

С другой стороны, раздельная фиксация практически приемлемых значений коэффициентов , позволяет исследовать их достижимость с помощью изменения управляющих воздействий ݔ , ݔ для исключения противоречивых сочетаний. Таким образом, предложенный алгоритм идентификации параметров регрессионного представления противоречивых критериев (1) позволяет исключить нереализуемые требования. [4]

Литература

1.Тихомиров Н. П. Эконометрика: учебник / Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина. – М.: Экзамен, 2003. – 512 с.

2.Эконометрика: учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева

идр.; под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 576 с.

3.Котенко А. П. Особенности применения косвенного метода наименьших квадратов к системе независимых эконометрических уравнений / А. П. Котенко // Друкеровский вестник. – 2017. – №3. – С. 96–102.

4.Каюрин Е. А. Многокритериальное управление с помощью систем регрессий / Е. А. Каюрин, Д. А. Пшенина // Интеллектуальные информационные системы: Всероссийская конф. (Воронеж, 12-13 декабря 2017). – Воронеж: Изд-во Воронежского гос. технического ун-та, 2017. –

С. 30–32.

Самарский государственный технический университет

УДК 519.173

А. А. Красильникова, А. А. Еличкина

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧЕ ЛОГИСТИКИ СОСТАВНЫХ ГРУЗОВ

Представим железнодорожную сеть математической моделью в виде связного неориентированного графа ǡ. Множеству его вершин ǣڂ поставим в соответствие крупные (узловые) станции , где возможны как перекомпоновка железнодорожного состава (прицепка или отцепка вагонов), так и смена маршрута дальнейшего движения, и стрелки , где

46

меняется лишь маршрут движения всего состава. Множеству

неориентированных рёбер будут соответствовать двухпутные перегоны. Пусть граф ǡ конечный и простой, то есть без петель и

параллельных рёбер. Рёбра א разметим длиной соответствующего железнодорожного перегона. Таким образом, задаём симметричную взвешенную ȁ ȁ ȁ ȁ-матрицу соседства вершин. Отсутствие петель отметим нулевой главной диагональю, а отсутствие непосредственного соседства вершин знаком λ.

Отметим, что в расчётах в качестве бесконечно большой оценки λ можно принять любое достаточно большое положительное число, играющее роль штрафной функции при нахождении кратчайших маршрутов между вершинами графа ǡ. Например, достаточно взять

λ ȁ ȁ א .

Матричным алгоритмом нахождения кратчайших маршрутов [1,2] на графе ǡ получим для каждой пары вершин ݒǡ א список маршрутов

ǡ , упорядоченных по длине [3]:

Здесь ǡ – кратчайший (быть может не единственный) маршрут, который

всегда найдётся в силу связности графа ǡ; – константа данного графа, зависящая от заданной точности решения задачи оптимальной компоновки железнодорожных составов из множества вагонов с заданными пунктами отправления и назначения.

Поскольку ограниченное числом локомотивов число железнодорожных составов много меньше числа заказов на перемещение вагонов, практически нельзя скомпоновать все составы так, чтобы каждый вагон следовал своим кратчайшим маршрутом ǡ, требуется включить в поиск оптимального по

критерию суммарной длины реализованных маршрутов субоптимальные маршруты из списков (1).

Перебор всех маршрутов ǡ невозможен для реальной железнодорожной

сети из-за ограниченных вычислительных мощностей (в основном, из-за ограничений памяти). Это требует введения глубины учёта числа субоптимальных маршрутов . Тем не менее, расчёт маршрутов ǡ в off-line

режиме позволяет построить для достаточно большого базу данных ǡ ǡ в виде набора лучших маршрутов (1) для каждой пары вершин графа ǡ.

Элементы базы ǡ ǡ представим деревом ǡ допустимых маршрутов из набора (1):

–корню поставим в соответствие пункт отправления ݒ א ;

–листьям – маршруты списка (1);

47

– ветвление произведём в вершинах графа ǡ, соответствующих возможности продолжения движения к пункту назначения ݒ א по разным маршрутам списка (1).

Таким образом, несимметрическая в общем случае ȁ ȁ ȁ ȁ-матрица

ؔ ǡ ȁǡȁ ,

составленная из деревьев ǡ, представит все варианты заказов перемещения вагонов по данной транспортной сети [3].

Сравнивая актуальные множеству заказов элементы матрицы , найдём совпадающие (под)деревья базы ǡ ǡ. Они соответствуют возможности объединения заказанных перевозок отдельных вагонов одним железнодорожным составом на том или ином участке доставки из их пунктов отправления в пункты назначения.

Конечность числа составов позволяет в online-режиме предлагать диспетчеру движения некоторое число вариантов перекомпоновки составов при синхронном прохождении узловых станций множества вершин графа железнодорожной сети ǡ.

Литература

1.Котенко А. П. Матричный алгоритм Беллмана–Мура / А. П. Котенко // Управление организационно-экономическими системами. – 2013. – №10. – С.

33–37.

2.Котенко А. А. Матричная реализация алгоритма Беллмана–Мура для поиска оптимальных маршрутов перевозок / А. А. Котенко // Инновации. Транспорт. Энергоэффективность. Строительство: международная научнопрактическая конф. магистрантов (Гомель, 30-31 января 2020). – Гомель: Издво Белорусского гос. ун-та транспорта, 2020. – С. 49.

3.Чикалова С. А. Алгоритм построения дерева компоновки маршрутов перевозок / С. А. Чикалова // Инновации. Транспорт. Энергоэффективность. Строительство: международная научно-практическая конф. магистрантов (Гомель, 30-31 января 2020). – Гомель: Изд-во Белорусского гос. ун-та транспорта, 2020. – С. 106.

Самарский государственный технический университет

48

УДК 681.5

Д. В. Логунов

РАЗРАБОТКА БЫСТРОГО АЛГОРИТМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДСТВИЯ В ИСЧИСЛЕНИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

В настоящее время человек занят созданием искусственного интеллекта – такой системы, которая будет мыслить и рассуждать, как человек. Особую роль играет человеческая логика. Она является одним из главных компонентов интеллектуальной познавательной деятельности. Если удастся формализовать и разработать алгоритм человеческой логики, то будет решена одна из главных проблем искусственного интеллекта. Благодаря этому машины очень быстро догонят человечество по объему знаний и так же быстро опередят нас.

Одной из таких проблем является быстрое определение логического следствия. Чтобы опровергнуть, является ли заключение логическим следствием, нужно найти такую строку в таблице истинности, в которой все посылки будут истинными, а заключение – ложным. Существуют довольно простые алгоритмы определения логического следствия по полной таблице истинности, но в случае, если переменных много, это может занять достаточно много времени. Поэтому можно не заполнять всю таблицу истинности, а попробовать целенаправленно сформировать такую строку, в которой все посылки истинны, а заключение ложно.

Принцип работы данного алгоритма:

1.Формализованное высказывание сворачивается до такого вида, пока оно не будет выглядеть как конъюнкция дизъюнктов или конъюнктов;

2.Составляется таблица истинности для первой по порядку посылки. Из этой таблицы берется строка значений, удовлетворяющих условию истинности этой посылки;

3.Для посылок, в которых присутствует одна из переменных, известная из предыдущих посылок берется сначала ложное значение неизвестной переменной и проверяется соответствие условию истинности посылки. Если не соответствует – значение второй переменной меняется на противоположное;

4.Для посылок, в которых не присутствует известных из предыдущих посылок значений переменных, составляется таблица истинности и берется первая удовлетворяющая условию истинности посылки строка значений;

5.Это повторяется до тех пор, пока не удастся найти непротиворечащие значения переменных при условии истинности посылок и ложности заключения. В противном случае заключение будет являться логическим следствием;

6.Если нашли комбинацию, при которых посылки истинны, а заключение ложно, программа переходит на следующий уровень (уровень

49