Материал: Основні типи систем координат, які використовують в геодезії

2.Основні типи систем координат, які використовують в геодезії

2.1.Загальні поняття про просторові системи координат, які використовуються в

геодезії

Вісторичному минулому виконували прив'язку на місцевості, де виконували топографічні знімання для складання карт. Для виконання цих робіт потрібно вибрати початкову точку відліку і орієнтування відносно якогось характерного напрямку, наприклад на північ по компасу. Або це могли бути напрямки на віддалені точки, положення яких, як передбачалося, тривалий час було незмінним. І вже відносно цього вихідного напрямку, який і можна вважати початком системи координат фіксувати всі об'єкти на поверхні. У різних регіонах, країнах вибиралися різні системи орієнтування, і все результати робіт різнилися між собою.

Починаючи з XVII століття, у геодезистів всіх країн виникає потреба в об'єднанні або встановленні єдиних системи координат, заходів вимірювань і геодезичних принципів виконання робіт. На той час винайдена зорова труба Галілео та розроблений метод тріангуляції Снеліусса. Виникає необхідність організації закріплення опорних геодезичних пунктів. На підставі геодезичних вимірювань і обчислювальної обробки результатів, отримували опорні мережі пунктів з координатами в єдиній системі відліку.

Системою координат називається сукупність умов, що визначають положення точки на прямій, площині, кривій поверхні, в просторі. Системи координат, що застосовуються в сучасній геодезії, можна поділити на такі групи: прямолінійні (двовимірні – на площині; тривимірні – в просторі); сферичні (двовимірні – на сфері; тривимірні – в просторі); еліпсоїдальні (двовимірні – на поверхні еліпсоїда; тривимірні – в просторі) тощо. Основні відмінності систем координат зумовлені вибором початку, основної координатної площини та головної осі координат.

Система координат, початок якої знаходиться в центрі мас Землі називається геоцентричною, якщо близько нього – квазігеоцентричною. Отже, координати пов’язані з загально земним еліпсоїдом, будуть загально земними і геоцентричними, а координати пов’язані з референц-еліпсоїдом – референтними та квазігеоцентричними. Якщо початок координат співвпадає з пунктом на земній поверхні, то таку систему називають топоцентричною. Відповідно, якщо в центрі Сонця – геліоцентричною.

Взалежності від вибраної основної координатної площини розрізняють екваторіальну (екватор або площина паралельна екватору), екліптичну (площина екліптики), горизонтну (площина місцевого горизонту) та орбітальну (площина орбіти небесного об’єкта) системи координат.

Взалежності від вибраного напряму осей координат відносно точок простору, системи координат поділяють на: зоряні (якщо вони зорієнтовані за зорями), квазарні (якщо вони орієнтуються на далекі природні радіоджерела (квазари)), земні (якщо вони зорієнтовані на нерухомі точки на земній поверхні).

Розглянемо коротко деякі системи координат, які використовуються в геодезії. Системи координат, що зв'язані з Землею і початок яких сумісний з центром мас Землі, мають назву геоцентричні системи координат.

У свою чергу, геоцентричні системи координат поділяються на три групи:

– перша – геоцентрична прямокутна система координат;

– друга – геоцентрична плоска (полярна) система координат;

– третя – геоцентрична сферична система координат.

Розглянемо детально тільки одну з них, а саме геоцентричну систему просторових прямокутних координат (рис.2.1).

Рис. 2.1. Геоцентрична система прямокутних просторових координат Отже, початок відліку цієї системи О співпадає з центром земного еліпсоїда, а основною

площиною (ХОУ) є площина його екватора. Вісь Z збігається з віссю обертання еліпсоїда і її додатний напрям спрямований від початку відліку О на північ вздовж малої осі еліпсоїда. Вісь X розташована у двох площинах екватора та вихідного "початкового" меридіану (L=0°), а вісь Y – у площинах екватора та меридіану з довготою 90 градусів (L=90°). Якщо центр еліпсоїда співпадає з центром мас Землі, а за початковий меридіан прийнятий меридіан Гринвіча, то ми маємо справу з гринвіцькою геоцентричною системою координат.

Просторове розташування будь-якої точки А у цій системі однозначно визначається "трійкою" декартових координат X, Y, Z. Просторові прямокутні прямолінійні координати будь-якої точки X, Y, Z називають ще просторовими декартовими координатами.

На рис. 2.1 показано:

X, Y, Z – координатні осі геоцентричної системи координат; О – точка початку відліку координат, центр мас Землі;

X, Y, Z – просторові декартові координати точки А;

А′ – проекція точки А на площину екватора (площина XOY); AX – проекція точки А′ на вісь X;

AY – проекція точки А′ на вісь Y;

r – проекція геоцентричного радіусу R на площину XOY або відстань від початку відліку О до точки А′.

Згідно з наведеними вище позначеннями сформулюємо визначення геоцентричних декартових координат:

Координата Z точки A є відрізком A′A перпендикуляра, проведеного від проекції точки А на площину XOY (точка А′) до точки А. Якщо напрямок перпендикуляра співпадає з додатним напрямком осі Z, то тоді координата Z буде додатною, в протилежному випадку – від’ємною.

Координата X – це відрізок AYA′ перпендикуляра, проведеного від осі Y (точка AY) до проекції точки A на площину XOY (точка А′). Якщо напрямок перпендикуляра співпадає з додатним напрямком осi X, то тоді координата X буде додатною, в протилежному випадку – від’ємною.

Координата Y – це відрізок AXA′ перпендикуляра, проведеного від осі X (точка AX) до проекції точки A на площині XOY (точка А′). Якщо напрямок перпендикуляра співпадає з додатним напрямком осi Y, то тоді координата Y буде додатною, якщо ні – від’ємною.

Геоцентрична система просторових прямокутних координат є нерухомою, тобто вона жорстко зв’язана з тілом Землі і обертається разом з нею.

Ця система координат ніяк не пов'язана з прямовисною лінією, і тому відразу встановити без досить складних допоміжних обчислень, де на поверхні Землі (а може бути і над Землею,

або всередині Землі) знаходиться точка, що має геоцентричні прямокутні координати X, Y, Z, практично неможливо.

Використовується така система, в основному, для запису в ній рівнянь поверхонь різних референц-еліпсоїдів і нормалей до них, а також для вирішення цих рівнянь в координатної формі. У цій же системі координат розраховуються орбіти і координати місцезнаходження в кожен конкретний момент геодезичних і навігаційних супутників. І в ній же з використанням таких супутників визначають координати різних рухомих і нерухомих об'єктів в навколоземному просторі.

Переваги:

-можна однозначно визначити положення точки у просторі;

-для застосування системи просторових прямокутних координат не потрібно мати поверхню відносності (поверхню еліпсоїда обертання).

Недоліки:

-необхідно відразу виконати таку кількість вимірювань, яка дозволить обчислити три координати точки, що визначається;

-систему просторових прямокутних координат незручно використовувати в топографії, при проектуванні та будівництві інженерних споруд;

-основною системою для вирішення практичних задач геодезії, топографії, землеустрою

єсистема плоских прямокутних координат Гаусса-Крюгера. Але строгих формул для прямого переходу від просторових прямокутних до плоских прямокутних координат немає.

Система просторових геодезичних координат. Фігура Землі, загалом, має сфероїдний вид, тому для побудови системи координат вона може бути замінена деяким еліпсоїдом обертання. Положення точок земної поверхні характеризується компонентами напрямів нормалей до поверхні прийнятого еліпсоїда в цих точках та їх висотами над поверхнею еліпсоїда. Так як вказані характеристики положення точок в цій системі координат визначаються за результатами геодезичних спостережень, то така система координат називається геодезичною. Розв’язуючи наукові та практичні задачі сучасної геодезії інколи зручніше оперувати не геоцентричними декартовими, а геодезичними координатами, тому розглянемо її більш детальніше.

Розташування точки А (рис. 2.2) в цій системі координат можна описати використовуючи геодезичні координати B, L, H. Варто зауважити, що три геодезичні координати точки (B, L, H) однозначно не описують її просторове розташування, оскільки поверхнею віднесення геодезичних координат є еліпсоїд, геометрію якого визначають його параметри (велика піввісь і мала піввісь). Точки, які мають однакові за значенням геодезичні координати (B, L, H), але відносяться до різних еліпсоїдів будуть мати різне просторове розташування. Тому оперуючи геодезичними координатами необхідно обов’язково знати параметри еліпсоїда до якого вони віднесені.

P1

Рис. 2.2. Геодезична система координат На рис. 2.2 зображено:

А – певна точка розташована у просторі; О – центр мас Землі (співпадає з початком відліку просторової декартової системи координат); ОС=OE=OE1 – велика піввісь еліпсоїда а;

OР=OР1 – мала піввісь еліпсоїда b;

РР1 – вісь обертання Землі (співпадає з віссю z просторової декартової системи координат); Е1ОЕ – вісь х просторової декартової системи координат; ЕСЕ1 – площина екватора;

РЕР1Е1 – меридіональний еліпс, що проходить через точку початку відліку довгот (площина початкового меридіану);

An – відрізок нормалі проведеної з точки А до поверхні еліпсоїда;

п – точка перетину відрізку нормалі An з віссю обертання Землі РР1; k – точка перетину відрізку нормалі An з площиною екватора ЕСЕ1; Q – точка утворена перетином нормалі An з поверхнею еліпсоїда;

РQCР1 – меридіан, який проходить через точку Q (точка А належить площині цього меридіану);

С – точка перетину меридіану РQCР1 з екватором ЕСЕ1; B – геодезична широта точки A;

L – геодезична довгота точки A;

H – геодезична висота точки A.

Геодезична широта B точки A – гострий кут між відрізком нормалі до еліпсоїда An та площиною екватора ЕCЕ1. Широти відлічують від площини екватора на північ в межах від 0° до 90°. На південь від екватора широти відлічують від 0° до –90°, тобто геодезичні широти змінюються від –90° (на південному полюсі) до +90° (на північному полюсі). Додатні широти називають північними, а від’ємні широти – південними. Координатна лінія на якій точки мають однакові за значенням широти називається паралеллю.

Геодезична довгота L точки A – двогранний кут, утворений площиною початкового меридіану РЕР1Е1 та площиною меридіану РQCР1, що проходить через точку Q. За початковий "нульовий" прийнято меридіан, який проходить через Гринвіцьку обсерваторію в Лондоні. Довготи, відлічувані від площини початкового меридіана на схід у межах від 0° до +180°, називають східними, а на захід у межах від 0° до -180° – західними, тобто геодезичні довготи можуть змінюватися від –180° до 180°. Однак, інколи на практиці використовують лише додатні значення довгот, при цьому вони на початковому меридіані рівні 0° і збільшуються на схід до 360°. Координатна лінія, у всіх точках якої геодезична довгота має одну і ту ж величину, називається меридіаном.

Геодезичною висотою H точки A є відрізок QA нормалі (перпендикуляра) An до еліпсоїда, яка проходить через точку A. Геодезичні висоти також можуть набувати як від‘ємних, так і додатних значень. Якщо точка лежатиме всередині еліпсоїда, то її геодезична висота буде від‘ємною, в протилежному випадку (точка розташована ззовні еліпсоїда) – геодезична висота буде додатною. Геодезична висота точки, яка лежить на поверхні еліпсоїда дорівнює нулю.

Переваги:

-трійка координат B, L, H однозначно визначає положення будь-якої точки простору та єдина для всієї поверхні Землі;

-координатні лінії - геодезичні меридіани та паралелі, що відносяться безпосередньо до поверхні еліпсоїда обертання, є основними лініями будь-якої картографічної проекції.

Недоліки:

-складність обчислення широт і довгот через дуже складні та громіздкі формули.

-не використовується для створення геодезичних мереж у зв’язку з великими поправками в результати вимірювань за редукцію на поверхню еліпсоїда обертання.

Астрономічна система координат.

Астрономічні координати точки визначаються за безпосередніми спостереженнями небесних тіл, виконаних на цій точці абсолютно і незалежно від інших вимірюваннях на інших точках. При визначенні астрономічних координат точка проектується прямовисною лінією на поверхню геоїда, а при визначенні геодезичних координат – нормаллю на поверхню земного еліпсоїда.

Внаслідок нерівномірного розподілу маси Землі і відхилення поверхні геоїда від поверхні земного еліпсоїда прямовисна лінія в загальному випадку не збігається з нормаллю.

Астрономічна широта φ і довгота λ визначають положення точки земної поверхні відносно екваторіальної площини і площини початкового астрономічного меридіана. Площина астрономічного меридіана проходить через прямовисну лінію в даній точці паралельно осі обертання Землі.

Астрономічна широта φ – кут, утворений прямовисною лінією в даній точці і екваторіальною площиною.

Астрономічна довгота λ – двогранний кут між площинами початкового меридіана та астрономічного меридіана даної точки.

Система геодезичних координат B, L представляє собою систему координат, що дає змогу однозначно визначити положення будь-якої точки на поверхні еліпсоїда. Практичне значення полягає в тому, що геодезичні координати B, L дуже мало відрізняються від астрономічної широти і довготи, які визначаються з астрономічних спостережень незалежно від геодезичних вимірювань.

Різниці геодезичних і астрономічних широт рівні складовим відхилення прямовисної лінії в площині меридіана, а різниці відповідних довгот складовим відхилення прямовисних ліній в першому вертикалі, помноженим на косинус широти. Тільки у випадку, коли Земля була би сфероїдом, геодезичні та астрономічні координати були б рівні.

У випадку, коли не враховують різниці між астрономічними та геодезичними координатами ( в дрібномасштабному картографуванні, особливих умовах розв’язування геодезичних задач, де не вимагається високої точності), то мають справу з географічними координатами.

Географічними координатами називаються кутові величини (широта і довгота), що визначають положення точок місцевості на поверхні земної сфери відносно площини екватора і початкового меридіана

Географічною широтою (α) називається кут, утворений площиною екватора і напрямом з центру земної сфери на дану точку. Змінюєьбся в тих же межах, що і геодезична широта – від 0 до 90 ° на північ і на південь від екватора. Географічні широти в Північній півкулі називаються північними і позначаються знаком «+», а в Південній – південними і позначаються знаком «-».

Географічною довготою (β) називається двогранний кут, утворений площиною початкового меридіана і площиною меридіана, що проходить через дану точку.

Вимірюється від початкового меридіана до меридіана, що проходить через дану точку в межах від 0 до 180 ° на схід і на захід. Довготи для точок, розташованих на схід від Гринвіцького меридіана до 180°, називаються східними і вважаються додатними, а на захід – західними і вважаються від’ємними.

2.2. Система плоских прямокутних координат в проекції Гауса-Крюгера

Для інженерно-геодезичних робіт не зовсім є доцільним використання системи геодезичних координат, не зважаючи на те, що вона є єдиною для всієї поверхні земного еліпсоїда, оскільки її координати отримуються використовуючи складні обчислення. Певні недоліки має і використання просторових прямокутних координат. Найоптимальнішим варіантом є застосування прямокутної системи координат на площині, однак вона безпосередньо не пов’язана з поверхнею еліпсоїда. Тільки досить незначні ділянки земної поверхні можна приймати за площину, тому використовувати таку систему координат для більших територій можна лише через проектування частин поверхні еліпсоїда на площину.

Проекції земного еліпсоїда на площину для перенесення та опрацювання результатів геодезичних вимірювань називаються геодезичними проекціями. Їх основне завдання – надати методи точного перенесення елементів поверхні еліпсоїда на площину, тоді як мета картографічних проекцій полягає у зображенні земної поверхні на папері (площині) у вигляді карт. Таким чином між поверхнею еліпсоїда та площиною встановлюється такого роду відповідність, коли кожній точці поверхні еліпсоїда відповідає тільки одна точка на площині. Загальні формули такого зв’язку, або загальні формули геодезичних проекцій можуть бути представлені у такому вигляді: