Материал: Основні типи систем координат, які використовують в геодезії

де B, L – геодезичні координати (широта та довгота), що визначають положення точки на поверхні еліпсоїда; х, у – прямокутні координати точки на площині; f1 та f2 – довільні функції. Зауважимо, що у формулі (10) відсутня геодезична висота. Причина полягає у тому, що проектується безпосередньо сама поверхня еліпсоїда, а на поверхні еліпсоїда геодезична висота дорівнює нулю.

Якщо певним чином вибрати вид функцій відображення f1 та f2, то можна отримати співвідношення для переходу від довжин та кутів на поверхні еліпсоїда до довжин і кутів на площині.

При виборі функцій f1 та f2 необхідно керуватись двома базовими принципами – мінімальними спотвореннями елементів поверхні еліпсоїда при переході на площину та простотою врахування цих спотворень.

Поверхня еліпсоїда не відноситься до тих поверхонь, які на площині зображуються без спотворень. Тому проекція, яка описується рівнянням (10) буде мати певні спотворення. Існують проекції, що зберігають кути, але спотворюють довжини ліній та площі (фігури), проекції, що зберігають площі, але спотворюють довжини ліній та кути і проекції, що спотворюють і кути і довжини ліній і площі. Величина спотворень визначається розмірами тієї ділянки еліпсоїда, що відображається на площині.

Коротко розглянемо, які способи класифікації картографічних проекцій. Отже: за характером спотворень проекції поділяють на рівнокутові, рівнопроміжні, рівновеликі, довільні.

Рівнокутні проекції (конформні) – спотворюються площі та лінії, а не кути. Кути і азимути передаються без спотворень. Досить зручні для вирішення навігаційних завдань.

Рівновеликі – площі передаються без спотворень, але при цьому суттєво можуть спотворюватися кути і форми об’єктів. Тобто площа фігури, яка зображена, дорівнює площі на поверхні еліпсоїда, але форми об’єкту для якого визначена площа не є подібними, як це буває у рівнокутовій проекції. Масштаб площі є постійним і дорівнює 1. У такій проекції зображуються економічні, ґрунтові та інші дрібномасштабні карти.

Довільні проекції – це проекції, яким властиві спотворення як кутів, так і площ спотворення. Тут не зберігається рівність кутів та пропорційність площ. Серед довільних проекцій окремо виділяють рівнопроміжні проекції.

Рівнопроміжні (еквідестентні) – проекції, в яких один з масштабів уздовж головних напрямків є сталою величиною. В цих проекціях чим більше спотворюються площі, тим менше спотворюються кути.

За орієнтуванню допоміжної поверхні відносно полярної осі або екватора еліпсоїда проекції бувають:.

Нормальні – в яких вісь допоміжної поверхні співпадає з віссю земного еліпсоїда, а в азимутальних – площина перпендикулярна до полярної осі. Тобто полюс системи координат співпадає з географічним полюсом.

Поперечні – в яких вісь допоміжної поверхні лежить в площині екватора земного еліпсоїда і перпендикулярна до полярної осі.

Косі – в яких вісь допоміжної поверхні співпадає з нормаллю, яка знаходиться між полярною віссю і площиною екватора земного еліпсоїда.

За видом допоміжної поверхні на яку проектується поверхня земного еліпсоїда: Азимутальні – в яких поверхня еліпсоїда переноситься на площину дотичну або, яка його

перетинає.

Циліндричні – в яких поверхня еліпсоїда переноситься на бокову поверхню циліндра, дотичну до нього або що його перетинає, після чого циліндр розгортається.

Конічні – в яких поверхня еліпса переноситься на поверхню конуса, потім конус розрізається по утворюючій лінії і розгортається.

За видом зображень нормальної картографічної сітки, а саме за видом паралелей і меридіанів – на азимутальні, циліндричні, конічні, псевдоконічні, псевдоциліндричні, поліконічні та псевдоазимутальні.

Окрім перелічених зустрічаються й інші проекції, які не відносяться до жодного з видів.

Із загального числа проекцій ми розглянемо проекцію Гауса-Крюгера, яка найчастіше використовується на практиці та коротко проекцію Меркатора.

Універсальна поперечна проекція Меркатора UTM (Universal Transverse Mercator projection), яка широко використовується, головним чином, в західних (англомовних) країнах, зокрема США – інша версія проекції Гауса-Крюгера, відрізняється лише тим, що масштаб зображення вздовж осьового меридіана приймають рівним не 1, а 0,9996.

Рівнокутна циліндрична проекція Меркатора розроблена Герардом Меркатором для застосування в його «Атласі». «Рівнокутна» в назві проекції підкреслює те, що проекція зберігає кути між напрямками. Меридіани в проекції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. Паралелі ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі екватора і швидко збільшується при наближенні до полюсів. Самі полюси не можуть бути зображені на проекції Меркатора, тому зазвичай карту в проекції Меркатора обмежують областями до 80-85° північної і південної широти.

Масштаб на карті в цій проекції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний косинус широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проекції. На картах в даній проекції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.

Оскільки проекція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проекція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проекції: на них Гренландія здається в 2-3 рази більшою від Австралії і порівнянна за розмірами з Південною Америкою. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.

Проекція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде під одним і тим же румбом до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки компаса щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проекції Меркатора.

Теоретичні аспекти поперечної циліндричної рівнокутної картографічної проекції розроблені німецькими вченими Гаусом, остаточні формули для обчислень були представлені Крюгером. Застосування цієї проекції дає можливість практично без суттєвих спотворень, зобразити досить значні ділянки земної поверхні, і, що дуже важливо, побудувати на цій території систему плоских прямокутних координат. Ця система є найбільш простою і зручною при проведенні інженерних та топографо-геодезичних робіт.

Принцип побудови проекції у площині Гауса-Крюгера проілюструємо на рис.2.3. Референц-еліпсоїд розташовують всередині паперового циліндра таким чином, щоб його вісь обертання РР1 була паралельною до основ циліндра, а площина екватора – перпендикулярною до основ циліндра. Крім цього паперовий циліндр повинен дотикатись до еліпсоїда по лінії осьового меридіану. Далі точки з поверхні еліпсоїда проектуються на поверхню циліндра нормалями до еліпсоїда. Після проектування паперовий циліндр розгортається і ми отримуємо зображення частини еліпсоїда на площині.

Очевидно, що усю поверхню еліпсоїда неможливо відобразити без спотворень на площині, тому в результаті досліджень було встановлено, що оптимальні розміри території зображення повинні обмежуватися меридіанами віддаленими один від одного на 6° або 3°. Ця фігура отримала назву сфероїдального двокутника (Р1АРВ рис.2.3). Його розміри: 180° по широті (від полюса до полюса) і 6° чи 3° по довготі. Таку ділянку еліпсоїда називають зоною. У проекції Гаусса-Крюгера циліндр дотикається до еліпсоїда по центральному меридіані, масштаб уздовж його рівний 1. Не дивлячись на те, що площа зони в проекції (зони Гауса) буде збільшеною, відносні спотворення довжин у найвіддаленіших від середнього (осьового) меридіана точках екватора на межі зони складатиме 1/1000 – 1/2000. Максимальні спотворення довжин в межах зони складає +0,14%, а площ – +0,27%, а в межах України – ще менші. Таким чином, спотворення довжин та площ в межах зони менші ніж спотворення, що виникають при друці карти за рахунок деформації паперу.

Як вже говорилося ця проекція є конформною, тобто при переході від еліпсоїда на площину кути не спотворюються, а спотворюються лише довжини ліній, при цьому спотворення не залежать від напрямку, що значно спрощує процес їх врахування. Ще однією властивістю є відсутність спотворень вздовж осьового меридіану. Справедливим є таке твердження – чим ближче точки розташовані до осьового меридіану, тим меншими будуть спотворення їх взаємного розташування.

Рис.2.3. Пояснення до проекції Гауса-Крюгера

Зображення кожного двокутника Р1АРВ в проекції Гауса-Крюгера є шестиградусною координатною зоною. За декартові координатні лінії у кожній зоні використовують прямолінійні зображення осьового меридіану (вісь х) та зображення екватора (вісь у). Початком відліку служить точка O (рис. 2.3) – перетин осьового меридіану з екваторам. Координати х зростають від екватора до північного полюса, а координати у зростають на схід.

Територія України знаходиться в північній півкулі, тому координати х точок будуть завжди додатні, а координати у будуть додатними, якщо точки лежать на схід (або правіше) від осьового меридіану та від’ємними, якщо на захід (або лівіше). На практиці користуватись від’ємними координатами не зручно, тому до отриманої координати у додають постійне зміщення – 500км або 500000м (рис. 2.4). Але і це ще не все – отримані координати не дають уявлення про зону до якої вони віднесені. Для уникнення цієї незручності до координати у додають ще номер зони, помножений на тисячу кілометрів. Підсумовуючи усе вищесказане, запишемо вираз для обчислення розширеної координати у розширене (в метрах):

Рис. 2.4. Система плоских прямокутних координат в проекції Гауса-Крюгера

В межах кожної шестиградусної зони розташовується ціле число трапецій карт в масштабах від 1:1000000 до 1:10000. Для забезпечення виконання топографо-геодезичних робіт на межі двох сусідніх зон, стандартна зона розширюється на 30' по довготі на захід і на схід від граничного меридіану. Координати геодезичних пунктів, які розташовані в таких зонах перекриття наводяться двічі (в головній і сусідній зоні). На топографічних картах перекривання зон позначають за допомогою спеціальних штрихів, які вказують виходи координатної сітки сусідньої зони.

В системі триградусних зон осьові меридіани розташовані через 3° по довготі і по-черзі співпадають з граничними і середніми меридіанами шестиградусних зон.

При зніманні міст та ділянок, на яких планується будівництво великих інженерних споруд намагаються мінімально зменшити поправки та деформації при переході від еліпсоїда на площину. Для цього вводять місцеву систему координат в проекції Гауса-Крюгера, при цьому осьовий меридіан вибирають таким чином, щоб він проходив посередині міста чи об’єкту робіт.

2.3. Основні елементи орієнтування на карті (дирекційний кут, геодезичний азимут, магнітний азимут та зв’язок між ними).

Дирекційний кут – один з кутів орієнтування, який використовується в геодезії для орієнтування ліній в зональній системі координат (проекція Гауса-Крюгера). Визначають на топографічній карті або плані, або обчислюють аналітично, але для початку визначивши азимут лінії і зближення меридіанів. На місцевості виміряти дирекційний кут неможливо. Зближення меридіанів (γ) – одна з важливих характеристик кожної проекції, яка дозволяє здійснити перехід від дирекційних кутів до істинних азимутів. Нагадаємо, що дирекційний кут

– це кут, який відлічується за годинниковою стрілкою від північного напрямку лінії,

паралельної до осьового меридіану, до напрямку на заданий предмет (див. рис. 2.5). Змінюється від 0° до 360°.

Рис. 2.5. Визначення дирекційного кута

Для визначення дирекційного кута на топографічній карті чи плані використовують координатну сітку (кілометрову сітку), як показано на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Визначення дирекційного кута на топографічній карті Азимут – кут, який відраховується за ходом годинникової стрілки від меридіану до на

напрямку на заданий предмет від 0° до 360°. В залежності від того, який меридіан прийнятий за початок відліку азимута, розрізняють істинний азимут, геодезичний азимут та магнітний азимут.

Істинний азимут – це кут, який відлічується за годинниковою стрілкою від північного напрямку істинного меридіану до напрямку на заданий предмет. Відноситься до дійсної фігури земної поверхні – геоїда та визначається за результатами астрономічних спостережень або за допомогою гіротеодоліта.

Нехай на площині в проекції Гауса-Крюгера дано лінію ВС, проілюструємо зв‘язок між істинним азимутом АВС, дирекційним кутом αВС цієї лінії та зближенням меридіанів γ у точці В на рис.2.6 .