Курс лекций: Основы геодезии в строительстве

Погрешности приборов обусловлены их несовершенством.

Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения. Личные погрешности связаны с особенностями наблюдателя, вызванные недостаточной восприимчивостью и совершенством его органов чувств. [6]

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами:

1) при определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела. Эти свойства позволяют обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности;

2) положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряде измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей;

3) чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряде измерений;

4) среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при ограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно выразить математически:

где [Д]- сумма случайных погрешностей, т.е.

n - число измерений.

Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т.е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из n измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений

При конечном числе измерений арифметическая средина x=[l]/n содержит остаточную случайную погрешность, но от точного значения х измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если n>1, принимать арифметическую середину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n. [9].

Средняя квадратическая, предельная относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле

где n - число измерений данной величины.

Эта формула справедлива для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению - арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

где д - отклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятными погрешностями, причем [д]=0. Точность арифметической средины будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность М определяется по формуле

где m - средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формуле (38) или (39).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью.

В теории вероятностей доказывается, что действительная ошибка измерений может быть больше средней квадратической в 32 случаях из 100, больше удвоенной средней квадратической только в 5 случаях из 100 и больше утроенной средней квадратической только в 3 случаях из 100. Таким образом, почти невозможен случай, когда действительная ошибка будет больше утроенной средней квадратической. Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку называют предельной

Оценку результатов измерений можно производить и по полученным значениям абсолютных и относительных погрешностей. Абсолютная - выражает разность между принятым значением измеряемой величины и средним измеренным ее значением.

Относительная погрешность является отношением значения абсолютной погрешности к среднему значению измеренной величины. Относительная погрешность выражается в виде простой дроби, числитель которой единица, а знаменатель - число, округленное до двух - трех значащих цифр с нулями.

Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности (табл. 5):

1) находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической средины х=[l]/n;

2) вычисляют отклонение д1=l1-x каждого значения измеренной величины l1, l2, …, ln от значения арифметической средины. Контроль вычислений - [д]=0;

3) по формуле Бесселя (39) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения;

4) по формуле (40) вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической середины [6].

Вычислительная обработка теодолитных ходов

Теодолитным ходом (рис. 56) называют систему закрепленных на местности точек, координаты которых определены из измерения горизонтальных углов в и расстояний d.

Как правило, теодолитные ходы прокладывают между пунктами государственной геодезической сети.

Связь теодолитных ходов с пунктами более высокого класса называют привязкой.

Между углами поворота теодолитного хода и дирекционными углами его сторон существует зависимость. На рис. 57 А, В и С - три последовательные точки хода. В точке В хода может быть измерен один из двух углов: влев, лежащий слева по ходу А-В-С, или впр - правый угол.

Обозначив через бВА и бВС дирекционные углы соответственного направления сторон ВА и ВС, определим

Рис. 56. Теодолитный ход: а - разомкнутый; б - замкнутый

Так как

То

Если при вычислении по этим формулам дирекционный угол бВС получит значение больше 3600, а значение окажется меньше 00, то следует прибавить 3600.

Последовательное применение формулы (43) позволяет вычислить дирекционный угол бk для k-й стороны теодолитного хода, начиная от исходного дирекционного угла б0 [9]:

Допустим, что теодолитный ход проложен между двумя исходными направлениями, дирекционные углы которых в точке О-б0 и в точке (n+1)-бn+1 (см. рис. 56,а). в1, в2, в3, …, вn+1 - измеренные правые углы. Применив к каждой из сторон хода формулу (43), найдем:

Сложим почленно эти равенства, после сокращений и простых преобразований получим

Соответствующая формула для суммы левых углов имеет вид

Подсчет и распределение угловой невязки

Формулы (45) и (46) и служат для контроля направленности измерения углов, так как они дают теоретическое значение их суммы. Если же в эти формулы подставить значение углов, полученные в результате измерений, то они приведут к невязкам

Знак плюс перед разностью исходных дирекционных углов соответствует правым по ходу измеренным углам впр, а знак минус - левым влев.

Из геометрии известно, что теоретическая сумма углов многоугольника, имеющего n углов (сомкнутый теодолитный ход)

Отсюда угловая невязка

Допустимое значение невязки суммы n измеренных углов определяется по формуле

где 1- предельная погрешность измерения одного угла. ?

Увязка углов в теодолитном ходе заключается в распределении невязки поровну на каждый угол, т.е. к измеренному значению угла в прибавляют поправку [9]

имеющую знак обратной невязки, после чего вычисляют дирекционные углы всех сторон теодолитного хода по формуле (43). Контролем вычислений служит вторичное получение конечного дирекционного угла начальной стороны 1-2 - для сомкнутого теодолитного хода (см. рис. 56).

Решение прямой и обратной геодезических задач

Прямая геодезическая задача заключается в определении координат конечной точки отрезка прямой линии по его длине, направлению и координатам начальной 62

точки. На рис. 58 А (х1; у1) и В (х2; у2) - начальная и конечная точки отрезка АВ, длина которого d12 и дирекционный угол б12; координаты точек:

По построению катеты прямоугольного треугольника АВС представляют собой разности координат точек А и В:

где Дх и Ду - приращения координат соответственно по осям абсцисс и ординат.

Так как угол В треугольника АВС равен дирекционному углу б12, то

Тогда

Обратная геодезическая задача - определение длины и направления отрезка прямой линии по данным координатам его начальной и конечной точек.

Из уравнений (50) следует два варианта решения обратной геодезической задачи:

1) разделив второе уравнение (50) на первое, получим:

и далее

2) возведя в квадрат каждое из уравнений (50) и сложив их, найдем:

Уравнивание приращений и вычисление координат точек теодолитного хода. Применив многократно прямую геодезическую задачу, для координат k-й точки хода получим:

Для теодолитного хода (см. рис. 56,а) при k=n+1 получим:

А для сомкнутого хода (см. рис. 56,б), в котором (n+1)-я точка совпадает с 1-й, имеем

Формулы (57) и (58) верны для теоретических значений приращений координат. Практически определения дирекционных углов и длин сторон содержат погрешности, подстановка их значений в эти формулы приведет к невязкам:

для разомкнутого хода:

для замкнутого полигона:

Величины:

называются соответственно абсолютной и относительной линейными невязками теодолитного хода, где p - периметр хода.

Увязка приращения координат производится раздельно по абсциссам и ординатам. Полученная невязка по этим осям распределяется на все приращения координат хода пропорционально длинам сторон, т.е. поправки viДxi и viДyi соответственно в приращениях Дxi и Дyi определяются по формулам: