Материал: Основы корреляционного анализа

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

вых абонементов. При этом связь имеет положительную тенденцию, то есть с ростом переменной ξ наблюдается увеличение величины η.

В случае наличия большого числа различных значений результативного признака (в нашем случае величины η), соответствующих одному и тому же значению признакафактора (величины ξ), целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи корреляционной таблицей.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки ∆l . Это можно сделать с помощью формулы Стержэсса, в которой n=30:

l		ymax ymin	1700 730	161.	(1.1)
	1	3,322lgn	6

Таблица 2. Корреляционная таблица (выборочный закон распределения) для примера 1.

[li, li+1]	[730;891]	[892;1053]	[1054;1215]	[1216;1377]	[1378;1539]	[1540;1701]
l \ k	810,5	972,5	1134,5	1296,5	1458,5	1620,5
160	1	0	0	0	0	0
170	2	0	0	0	0	0
175	1	0	0	0	0	0
180	2	1	0	0	0	0
185	1	0	0	0	0	0
190	0	2	0	0	0	0
195	0	1	0	0	0	0
200	0	0	1	0	0	0
205	0	1	0	0	0	0
210	0	1	1	0	0	0
215	0	0	1	0	0	0
220	0	1	1	2	0	0
225	0	0	0	1	0	0
230	0	0	0	2	0	0
235	0	0	0	0	2	0
240	0	0	0	0	1	1
250	0	0	0	0	0	1
260	0	0	0	0	0	1
270	0	0	0	0	0	1

В корреляционной таблице факторный признак ξ, как правило, располагают в строках, а результативный признак η – в столбцах таблицы. Здесь k = (lk + lk+1 )/2, k = 1, ..., n(k) и l = 1, ..., n(l). Числа nlk, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения ξ и η. Для nlk, справедливо соотношение:

n(l)n(k )

nlk =n. (1.2)

l 1 k 1

plk =

Если в табл. 2 разделить частоты nlk на n, то мы получим выборочный закон распределения. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, являются относительными частотами, которые представляют собой выборочные вероятности

nlk/ / n (здесь и дальше  будет относиться к величинам, рассчитываемым по выборке).

Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии корреляции, а также выяснить ее направление. Так как в нашем случае частоты расположены на диагонали из левого нижнего угла в правый верхний угол (т.е. бóльшим значениям фактора соответствуют бóльшие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

1.2. Выборочный коэффициент корреляции.

Для начала вспомним, как определяется и какие свойства имеет теоретиковероятностный коэффициент корреляции.

Случайная величина в основном хорошо описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом (ковариацией) Kξη [ 1 ] называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин ξ и η и характеризует степень линейной статистической зависимости величин ξ и η и рассеивание относительно точки (mξ , mη).

m M ξ

- m

η - m

где

m M

(1.3)

или

K		M - mξ - mη		M - mη - mξ

m m M m m .

Свойства корреляционного момента:

1.- ∞ < Kξη < ∞;

+ m	m	M	M m		M m
ξ	η			η		ξ	(1.4)
							(1.4)

2.	Kξη = Kηξ . Свойство 2 следует из определения Kξη .
3.	Корреляционный момент двух независимых случайных величин ξ и η равен 0.
	Доказательство: так как случайные величины ξ и η – независимы, то и их совмест-

ная плотность распределения представляется произведением плотностей распределения отдельных случайных величин ξ и η.

Тогда	M M M и	K		M m m	m m	m m 0.

4. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превышает среднего геометрического их дисперсий:

или

D D

(1.5)

Доказательство:

Введем в рассмотрение случайные величины z1=σηξ - σξη и

z2=σηξ + σξη. Вычислим их дисперсии D[z1]

и D[z2].

Из того, что D[z1] ≥ 0, получим:

D z M

2 M

					2						2
z		2	M	z		M
z		2	M	z		M
	1			1


				2			2	2	2	2
										2

	2		2		2		2			2
				M				M



		2	2	2		K			0.
2				2		K			0.

В результате: Kξη ≤ σξση.
Аналогично, из неравенства	D[z2] ≥ 0 нетрудно показать, что - σξση ≤ Kξη .
Отсюда - σξση ≤ Kξη ≤ σξση	и \|Kξη\| ≤ σξση .

Если Kξη ≠ 0, случайные величины ξ и η называются коррелированными (зависимыми в определённом смысле). Если же Kξη = 0, то необязательно, что ξ и η независимы. В этом случае они называются некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает их коррелированность.

Из независимости двух случайных величин следует их некоррелирванность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Величина ковариации (корреляционного момента) даёт нам лишь качественную характеристику корреляции. Корреляционный момент зависит от единиц измерения случайных величин, входящих в систему, и от того, насколько каждая из случайных величин отклоняется от своего математического ожидания. Для количественной оценки связи между ξ и η удобно рассматривать безразмерную характеристику корреляции, которая назы-

вается коэффициентом корреляции rξη:

r	K	.


			(1.6)

Свойства коэффициента корреляции:

1. Величина коэффициента корреляции двух случайных величин не превышает единицы: |Kξη |≤1. Это утверждение прямо следует из доказанного выше неравенства |Kξη| ≤ σξση . (1.5) и определения коэффициента корреляции (1.6).

2. |rξη |=1, если η=a+bξ.

Доказательство: Используя свойства математического ожидания, получим:

K M M

M a b ) M M a b aM bM 2

b M 2

b 2 bD .

Найдём дисперсию η:

D M

M 2 M a b )2

a b M

a b

b2M 2

2abM

D .

2abM

Подставим выражения для Kξη

и Dη в (1.6)::

Kξη

bDξ

ξη

Dξ Dη

b2 D D

Таким образом,

rξη = 1,

если b>0

и rξη = -1, если

b<0.

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между ξ и η: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее.

3. Если величины ξ и η независимы, то rξη= 0.

4. На рис.3a, 3b схематично показано, как меняется коэффициент корреляции от +1 до 1 в зависимости от вида корреляционного поля:

Как мы уже отмечали, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, обратное неверно и требуются дополнительные исследования.

На рис. 3c, 3d представлены примеры, когда несмотря на то, что rξη= 0, на корреляци-

онном поле можно увидеть зависимость между случайными величинами.

Выборочный коэффициента корреляции.

Выборочный коэффициента корреляции находится по статистическим данным (выборке) или корреляционной таблицей, используя формулы (1.7) - (1.10) (здесь используются обозначения как в табл.1 и табл. 2):

ξη

D D

n n

n(l)n(k )

Kξη

(xi x)( y j y)

xi y j xy

xl yk nlk xy,

n i 1 j 1

n l 1 k 1

n(l)

1 xi

x 2

1 xi2 x2 1 xl 2nl x2 ,

n i 1

n l

y 2

n(k )

1 y j

1 y j 2 y 2 1

yk 2nk y 2 ,

n j 1

n k 1

где и - выборочные средние:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

	n	n(k )		n	n(l)		n(l)	n(k )
x	1 xi	1 xk nk ,	y	1 y j	1 yl nl		и nk nlk ,	nl nlk .
	n i 1	n k 1		n j 1	n l 1		l 1	k 1
Выборочный коэффициент корреляции rξη = 0						обладает всем свойствами, которыми

обладает теоретико-вероятностный коэффициент корреляции rξη . В частности, для лю-

бой выборки: \|rξη\| ≤ 1. При этом, чем ближе	rξη к 1 (или к 1), тем сильнее выражена
линейная зависимость между ξ и η.
	10

Источник: https://studfile.net/preview/16431523/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица