Материал: Основы корреляционного анализа

и

th(1.499)< th(2.134) .

Вычислив гиперболические тангенсы, получим искомый доверительный интервал:

0.905 < ρ < 0.972.

ГЛАВА 2. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

егрессия (лат. regressio — обратное движение, отход), в теории вероятностей и математической статистике, зависимость математического ожидания (например, среднего значения) какой-либо случайной величины η от одной ξ или нескольких других случайных величин (независимых переменных). Такая зависимость между случайными величинами называется стохастической и описывается условным математическим ожиданием:

которое, как видно из записи, является функцией от независимой переменной x, имеющей смысл возможного значения случайной величины ξ. Соответственно y - возможные значения случайной величины η.

Уравнение y = y(x) = f(x) называется уравнением регрессии на ξ. Переменная x

называется регрессионной переменной или регрессором. График функции y = f(x) на-

зывается линией или кривой регрессии. Корреляционный анализ - поиск функции f(x).

Кривые регрессии η на x дают наилучшее в среднеквадратическом смысле предсказание значения величины η по заданному значению ξ = x. Иными словами, среди всех действительных функций φ(x) минимум M[(η- φ(x))2] достигается для функции φ(x) = M[η|ξ= x]. На практике это свойство используется для прогноза η по известному ξ:

Если модуль коэффициента корреляции близок к 1, то, как мы писали выше, зависи-

наиболее простой, но важный случай.

Коэффициенты A и B можно найти из условия минимума F(A,B) = M[(η - A - Bξ)2]. Приравнивая к нулю частные производные

17

и решая систему двух линейных алгебраических уравнений относительно A и B, нетрудно получить:

проходящая через точку (mξ, mη) с угловым коэффициентом

k rξη ση ,

σξ

называемым коэффициентом регрессии η на x.

Заметим, что целью построения линейной регрессии является подгонка прямой линии по точкам, так, чтобы минимизировать квадраты отклонений этой линии от наблюдаемых точек. Поэтому, эту общую процедуру иногда называют оценкой по методу наименьших квадратов.

Пример 2. Воспользовавшись данными из Табл.5, найти кривую регрессии, в том числе и уравнение прямой линейной регрессии.

Таблица 5. Результаты измерений роста ξ (см) и веса η (кг) 50 мужчин – слушателей академии МЧС.

18

σ*

y(x) y rξη* ση* (x x)

ξ

после подстановки входящих в него величин примет вид:

y(x) 79.20 0.9194(x x) = 0.9194x 79.20 0.9194 174.50,

(2.4)

y(x) 0.9194x -81.235.

Для того, чтобы найти кривую регрессии согласно формуле y(x) = M[η|ξ=x] = f(x), на-

до вычислить условное математическое ожидание y(xῖ) [ 1 ]:

Найденные кривые регрессии на рис.6 представлены на фоне корреляционного поля.

Рис. 6

Построенная нами кривая регрессии φ(x) - это функция, которая среди всех действительных функций наилучшим образов описывает наблюдаемые точки в среднеквадратическом, то есть именно для этой функции достигается минимум M[(η- φ(x))2].

Найденная прямая y(x)=0.9194x - 81.235 (линейная регрессия) даёт наилучшее описание в смысле минимума суммы квадратов отклонений прямой от наблюдаемых точек среди всех линейных функций. Для примера, на рис. 6 показано отклонение прямой y(x)=0.9194x - 81.235 от некоторой точки A.

20