15. Значения коэффицментоп г) п формулах (57) и (58)
пластинок Устойчивость
Устойчивость пластинок при высоких температурах |
117 |
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК ПРИ в ы с о к и х ТЕМПЕРАТУРАХ
Общие сведения
Расчет упругих систем на устойчивость при повышенных температурах важен прежде всего для авиационных конструкций. Аэродинами ческий нагрев обшивки летательных аппаратов, имеющих сверхзвуко вую скорость полета, приводит к неравномерному распределению температур в конструкции; появляющиеся при этом термические сжи мающие напряжения могут вызвать потерю устойчивости элементов обшивки.
Данные о закритической деформации пластинок при наличии темпе ратурных воздействий необходимы для определения влияния высоких температур на редукционные коэффициенты, а также для учета влияния волнообразования обшивки на аэродинамические характеристики кон струкции.
При высоких температурах проявляется ползучесть конструк ционных материалов, и это приводит к потере устойчивости сжатых элемеЕпов конструкции при напряжениях, лежащих ниже крити ческих.
Приведем некоторые данные, относящиеся к поведению пластинок при высоких температурах.
Пластинки в неравномерном температурном поле
Основные уравнения теории гибких пластинок приведены в гл. 17 т. 1. Дополним эти соотношения в предположении, что температура изменяется как в срединной поверхности, так и по толщине пла стинки.
Деформация |
на расстоянии |
г от срединной поверхности будет |
|
|
= -^Г) (4г) - |
^ Ч Ч + “<°<г). |
(59) |
где а^2), а^2) — напряжения в этом слое пластинки; I (2) — темпера тура в °С в этом слое; а — коэффициент линейного расширения мате риала.
Значения модуля упругости Е{2) и коэффициента Пуассона V*2) будем считать постоянными по толщине пластинки и равными значе ниям Е й V, соответствующим температуре срединного слоя. Учитывая соотношение
|
4 г , =< |
|
~с№~’ |
(60) |
|
|
|
||
где е х |
— деформация в срединной |
поверхности, вместо |
равенства (59) |
|
можем |
написать |
|
|
|
|
д*ш |
(г) |
— VО^г ,) |
(61) |
|
вл ~ г дх8 |
х |
||
118 |
У ст о й ч и во ст ь |
п л а с т и н о к |
|
Аналогично |
получаем зависимость |
|
|
еу ~ г 1% Г'= - Г ( ° Г |
~ ^ г>) + а,0<г>- |
(62) |
|
|
|||
Умножим все члены выражений (61) и (62) на г и проинтегрируем по толщине пластинки; из получившихся при этом соотношений найдем изгибающие моменты
|
|
д2ш |
1 |
|
|
|
12(1 — V) а0; |
(63) |
|
|
|
дх2 |
|
V |
) |
||||
|
|
а2ш |
I |
V |
|
' |
ЕН2 |
а 0; |
(64) |
|
|
ду2 |
^ |
|
а*» >) + |
12(1 — V) |
|
||
здесь |
0 — приведенная |
величина |
«температурного момента», |
|
|||||
|
|
- |
1 |
|
1 |
* » .* . |
|
(65) |
|
Вместо дифференциального уравнения (14) |
[см. т. 1 гл. 18] |
получим |
|||||||
|
— у 4а> = |
Ь (к>,Ф) - |
|
|
ЕНа |
|
(66) |
||
|
|
12(1 — V) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где у 4 = VйV3! причем у 2 |
аз |
|
, |
а3 |
|
|
|
||
а*2 + |
ду2* |
|
|
|
|||||
В |
уравнение совместности |
деформаций |
[см. т. 1 |
гл. 18 |
уравне |
||||
ние (12) ] подставим следующие выражения для деформаций в срединной поверхности, вытекающие из зависимостей (61) и (62):
** = -]Г (Ох — чоу) + о.Т\
(67)
ьу = (оу — усг*) + аТ,
где Ох и оу — напряжения в срединной поверхности, а величина
Г = -± - | И»йж. |
(68) |
_н_
2
Тогда придем к следующему уравнению [1 ]:
-1 - у 4ф |
-----(ш, |
— а у 2Г. |
(69) |
Устойчивость пластинок при высоких температурах |
119 |
С помощью уравнений (66) и (69) решают задачи о закритическом термическом выпучивании пластинок. Если считать т = 0, то урав нение (69) принимает вид
4 - у 4Ф = — ау 27\ |
(70) |
Приведем результаты решения задачи о выпучивании подкрепленной пластинки (рис. 28) при неравномерном нагреве [1 ]. Пластинка шар нирно скреплена по краям с жесткими на изгиб ребрами, при этом
края не смещаются ни в плоскости пластинки, ни в поперечном направ лении. Температура вдоль осей х и у изменяется по закону
г - п + Г ф - ( ^ ) ’ ] [ , _ ( * - > ) • ]
и по толщине пластинки является постоянной. Требуется определить критические значения величин Т 0 и Г1( при которых произойдет выпу чивание пластинки.
Решение уравнения (70) принимают в виде |
|
Ф = ^ Л'«С05 |
Вп соз - П*у -+ |
гл |
п |
+ 2 |
2 ^ 0 0 3 ^ 0 0 ^ - |
С71) |
т |
п |
|
здесь рх и р у — сжимающие напряжения вдоль х и у\ |
чины |
|
определяют из заданных граничных условий. |
|
|
Для решения задачи используют метод Ритца, причем выражение
для прогиба выбирают в виде |
|
|
|
|
Ю = |
с |
пшх |
лл// |
(72) |
2 Ъ 1тя 5,п ~ г 5Ш~т~ • |
||||
120 |
Устойчивость пластинок |
Далее минимизируют полную энергию системы по ртп и получают систему линейных уравнений относительно / пт• Для нахождения кри тических условий определитель этой системы приравнивают нулю. Результаты решения, полученного с учетом четырех членов ряда при V=0132, показаны на рис. 29. По оси ординат отложены значения коэффициента кТ\ критический перепад температур Тг, кр выражается через величину ктформулой
|
^ 1 , к р — 1 — V2* |
|
|
|
|
(73) |
Штриховые |
линии соответствуют результатам |
приближенного ре |
||||
шения, в котором температура принята равномерной и |
равной неко |
|||||
торому среднему значению между Т 0 |
и |
Тг. Графики |
|
показывают, |
||
гр |
о |
|
|
|
|
|
что при -=г- < 2 эффект неравномерного |
распределения |
температур |
||||
‘ 1 |
|
|
|
т |
|
|
является существенным, в то время как |
при |
2 |
результаты |
|||
уточненного и |
приближенного решений |
совпадают. |
|
|
||
Если деформация пластинки является менее стесненной (случай упругих подкрепляющих ребер), влияние неравномерности темпе ратурного поля будет еще более значительным.
Выпучивание пластинок при ползучести
Диаграмма прогиб — время, характерная для пластинки с началь ной погибью при ползучести, показана на рис. 30.
Прогибы пластинки сначала увеличиваются ускоренно, затем скорость возрастания прогибов падает. Особенность выпучивания
что при прогибах, сравнимых с толщиной пластинки, сказывается эффект цепных напряжений.
Для идеальных пластинок и оболочек предложена в качестве кри терия выпучивания при ползучести критическая деформация. Например,