Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

356	Параметрические колебания упругих систем
	Если функция Ф (0 является периодической, т. е. если
	ф(<+ ‘^ ) = ф(*)-

то дифференциальное уравнение (25) называют уравнением Хилла. Частный случай уравнения Хилла при Ф = созО/ называют уравне

нием Матъе [15, 17].

Области	неустойчивости уравне
ния Матье.	Рассмотрим подробнее
уравнение Матье
+	2цСО5в0/ = 0. (26)

В зависимости от соотношения между параметрами й, 0 и р его ре шения могут быть либо ограничен ными во времени (периодическими или квазипериодическими), либо не ограниченно возрастающими во вре мени. Области в пространстве пара метров, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возра стающее решение, называют обла стями неустойчивости. На рис. 7 представлено распределение обла стей неустойчивости для уравнения Матье, записанного в виде

• ^ + ( я - 2 9 с о з 2х) / = 0.

(27)

Втакой записи коэффициенты уравнения зависят от параметров а

икоторые и отложены вдоль осей координат. Области неустойчивости заштрихованы. Периодические решения на границе областей равны еел (х) и зеЛ (х) (функциям Матье порядка п). Эту диаграмму назы вают диаграммой Стретта [17].

Возвращаясь к обозначениям, использованным в уравнении (26), видим, что при малых р области неустойчивости располагаются вблизи линий, на которых

6,	оп	(П= 1, 2, . . . ) .	(28)
	= ^ -
Область, которой в	формуле	(28) соответствует п =	1. называют

главной, остальные — побочные.

Определение границ областей неустойчивости при малых р. С точки зрения задач о параметрических колебаниях упругих систем наиболь ший интерес представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым значениям параметра р. Границы областей неустой чивости для этой полосы могут быть вычислены по формулам, вывод ко торых дается в книге [7]. Для границ главной области неустойчивости

6, « 20 КТТТс.

(29)

Области неустойчивости уравнения Матье-Хилла

357

Более точные значения для частот 0, соответствующих границам главной области, могут быть вычислены из уравнений, получаемых усе чением бесконечного определителя:

1 ± Ц	О2	- и	О
	4П2

-м -		90-	— И
		4П2		(30)
			= 0.
О		— И	25В2
			4Й2

Из уравнения (30) могут быть найдены также границы побочных областей при п = 3, 5 ,.. Границы побочных областей, которым в фор муле (28) соответствует п = 2, 4 ,. . могут быть найдены из уравнений

1 —
— И	1	4О2
— И	1	$2а			= 0;
		$2а
				16О2
0		— М-		16О2
0		— М-		Г}2
				Г}2
1	— Ц		0	0
— 2^1 !	_ Л		— г	0
	П2
0	— 11		402	- И	- 0.
0	— 11	1	« а	- И	- 0.
		1	« а
0	0		— н	160-
0	0		— н	сг-~
				сг-~

Подробнее см. в книге 17].

Формулы, основанные на методе малого параметра. Если параметр р,

вуравнении (26) достаточно мал по сравнению с единицей, то для опре деления границ областей неустойчивости может быть применен метод малого параметра [1, 12, 15, 18]. Этот метод приводит к формулам для определения границ областей неустойчивости 1151, которые собраны

втаблице. В этой таблице се,г(х) и зеЛ(х) — функции Матье целого по рядка /1. где п — номер области неустойчивости. Чтобы перейти к урав нению в форме (26), надо положить

4П2 ш Ш1

вости Порядокобластинеустойчип

Периоди ческое реше ние на гра нице области

5е, (х)

Св! (х)

зе, (х)

се, (х)

5ев (х)

Г р а н и ц ы о б л а с т е й н е у с т о й ч и в о с т и у р а в н е н и я М а т ь е
-^7 - 4- (« — 2<7со5 2 х) / «= 0					ЛЧ
					— ±. + П* (1-2цсо5 0О ^ = 0
Связь между параметрами а и $					Связь между параметрами В, в и Ц.
на границе области неустойчивости					на границе области неустойчивости
« .= 1Т * - 4 -		«± ж * -Т й б		+ ° <«*)	в, = 2 П ] /	1 ± ц + \| д « + 0 ( р * )
“* = 4	в	’’ +	13*24		0, = П ] /	1 + ~ 11* +	О <ц«)
й* ~ 4 +	12	Я	13 824 Я + °	)	0 .= й '\|/ Г1 - 2 \|. ^ « +		О (ц‘)

се3 (х)

а* = 9 +

«■+ 20480

"‘ + 0 ( ''‘>

°* —- Щ - У 1 ~ ^

± 1Т “ * + 0 <1*‘>

зе4 (х)

16 + ~<7

864 000 Я +

]

*‘ - т У

1 - - м

- ^

т ^ ‘ +

0 < ^

се4 (х)

“* =

16+

30 «’ +

864 МО

*‘ +°<**>

" •“ - г К

1 - 4

и’ -

1 1 1 ,1< +

0 ( '1*)

зе, (х)

« .= 2 5 +

Д «■+ ,74П]44 ,* Т

, , 4

+0(«*>

. =

се, (х)

систем упругих колебания Параметрические


Области неустойчивости уравнения Матье-Хилла						359
Из таблицы		видно,	что	л-я область	неустойчивости, г д е п ^ 1,
имеет относительную ширину порядка					дп.	не
Диаграмма Стретта			и соответствующие формулы из таблицы
удобны для определения критических величин отношения частот						по
скольку это отношение входит				в оба пара
метра а и 7.	В последней графе таблицы
даны приближенные формулы для областей
неустойчивости,		решенные относительно
частоты 0. Три области неустойчивости
показаны на рис.		8.		уравнения
Области	неустойчивости

Хилла. Рассмотрим уравнение Хилла (25), предполагая, что функция Ф (0 представ лена в виде

со

Ф (0 = 2 Р* С05 Ш. к=1

Границы первой, третьей и т. д. обла стей неустойчивости определяют из урав нения [7]

О Щ 0,2 0,3 № р.

Рис. 8

. ^	в»	— (1*1 ± Щ)		— (Рг ± Рз)
		— (1*1 ± Щ)		— (Рг ± Рз)
— (Р1 ± М*2)		1 ±	902	— 0*1 ± Ш)
— (Р1 ± М*2)		1 ±	4Я3	— 0*1 ± Ш)
			4Я3		= 0.
					= 0.
— (Р-2 ± Ы		— (Р-1 ± Ш)		1 ±	2562
— (Р-2 ± Ы		— (Р-1 ± Ш)		1 ±	4Й2
					4Й2

Для определения границ второй, четвертой и т. д. областей неустой чивости получаем аналогичное уравнение, которое здесь не выписы ваем. В первом приближении получаем следующую формулу:

90	_______	(* = 1.2,	.) .	(32)
0, «=* —	/ 1 ± Ц *	(* = 1.2,	.) .	(32)
Из этой формулы видно, что ширина к-й области в первую очередь
зависит от соответствующего коэффициента			Фурье в	разложении
для Ф (/).
Границы областей неустойчивости для уравнения Хилла могут
быть найдены также из	уравнения	[7, 17]

Нт)+4(4)\|-*	(33)

360	Параметрические колебания упругих систем

где и (/) и (0 — решения уравнения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

М 0) = 1; ![ (0) = 0; /2 (0) = 0;

(0) = 1.

Уравнение (33) полезно, например, в случае, если функция меняется по кусочно-постоянному закону (этот частный случай уравнения Хилла называют иногда уравнением Мейсснера). Пусть

		1, если		0 <	I
	ф ^ =	.		п	< /	2я
		— 1, если		-д-	< /	- 0-.
Уравнение	(33) принимает вид
		2	I	2	Ш?1	.	Яр2
С08^	С05^	Р1	+ Р‘2 .		Ш?1	.	Яр2	= 0,	(34)
С08^	С05^	---------- «“ - т -				8,П“	Г	= 0,	(34)
		2Р1Р2
где обозначено		Л . 2 = й V 1 ± 2ц							(35)
		Л . 2 = й V 1 ± 2ц							(35)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Классификация областей неустойчивости. Рассмотрим общее урав нение (16) в матричной форме, положив для определенности, что Ф (I = сов 0/:

С - ~ + {Е — аА — Рсоз Ш В ) / = 0.

(36)

Можно показать, что областям неустойчивости принадлежат те точки в пространстве параметров, для которых среди корней Н урав нения [5, 7]

(*■-«•> С+	- 4 - ре	АНИС
+Е—аА	2

- 4- №	~\-Е—аА	- 4- №	2Аес
1	~\-Е—аА	2
	- рв	НгС+Е-аА		О	= 0 (37)
	- 2 лес	— — ре	(/»—в) ен-
		1	+Е—аА
-4/1 вС		0	_1_ рв	(Л—40) С +
			2	+Е-аА

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры