Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

найдется хотя бы один корень, обладающий положительной действи­ тельной частью. Исследование уравнения (37) показывает, что области неустойчивости матричного уравнения (36) располагаются вблизи частот

тической нагрузкой с параметром а. Эти частоты определяют из урав­ нения

* Механическую систему с конечным числом степеней свободы называю! гамильтоновой, если уравнения ее движения могут быть представлены в кано­ нической форме Гамильтона. К нсгамильтоновым системам приходим, напри­

мер, рассматривая колебания стержня, нагруженного следящими силами [8]

362 Параметрические колебания упругих систем

Определитель, стоящий в левой части, следует понимать в том смысле, что на месте каждого его элемента стоит матрица порядка п, где п — число членов ряда (11). Например, удерживая в определителе (42) одни лишь выписанные члены, получим определитель порядка 3п. Границы главной области неустойчивости (п = 1) в первом прибли­ жении могут быть найдены из уравнения 17]

и отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней. Эти операции, однако, не представляют затруднений для электронных цифровых машин.

Применение метода малого параметра. Для аналитических вычисле­

Примером, где это условие не выполнено, может служить задача об устойчивости плоской формы изгиба (см. 354—355). Пусть в уравне­ ниях (20) и (22) М (0 = рсоз 0/. Тогда уравнение (22) имеет вид (44), где С0 = С,

•Ч 9 1-а>1

И = С”1А =

Ык

Ширина главных областей имеет в этом случае порядок р2. Границы комбинационной области согласно формуле (47) определяют как

где Р* — критическое зи чеиие параметра для соответствующе;’ ческой задачи:

ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ НА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Уравнения для границ областей неустойчивости. Ограничимся про­ стейшим случаем уравнения Матье (26) с диссипативным членом

здесь е — коэффициент демпфирования. Области неустойчивости попрежнему располагаются вблизи частот, определяемых по формуле (2/). При п = 1,3, границы областей неустойчивости находят из урав­ нения [7]

Влияние демпфирования в общем случае. Если параметрические ко­ лебания описываются системой дифференциальных уравнений с периоди­ ческими коэффициентами, то расчет областей неустойчивости при на­ личии демпфирования усложняется. Некоторые приближенные методы указаны в книге [71. Метод малого параметра дает для определения границ комбинационных областей следующую приближенную фор­ мулу [28]:

при определенных условиях введение малого демпфирования может приводить к расширению комбинационных областей неустойчивости. Аналогичное явление было обнаружено в задачах устойчивости упру­ гих систем, находящихся под действием непотенциальных сил [8 ].

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В НЕВОЗМУЩЕННОМ СОСТОЯНИИ

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых

ния стержня, в случае рис. 1, 6 — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что переме­ щения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимае­ мого периодической продольной силон (рис. 3).

Пусть и (х, I) — продольное перемещение точек; V(*, 0 — попереч­ ное перемещение точек, принадлежащих оси стержня; ЕР — жесткость сечения при растяжении-сжатии. С учетом наиболее существенных не­

Через гх обозн чена продольная деформация оси стержня, т. е.

ди . 1 / до \ а