Материал: Расчет дифракционного предела преломляющей рентгеновской оптики

        (11)

где R₁ и R₂ - радиусы кривизны. Расстояние же R от точки волновой поверхности с координатами x, у, z до точки Р с координатами x, 0, 0 есть:

      (12)

Вдоль волновой поверхности поле и можно считать постоянным; то же касается и множителя 1/R. Поскольку мы интересуемся только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и пишем просто:

       (13)

Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассматриваемом луче в точках х = R₁ и х = R₂; это и есть точки касания лучом обеих каустик. Пусть R₂< R₁ - При х < R₂ коэффициенты при i в показателях подынтегральных выражений в обоих интегралах положительны, и каждый из этих интегралов содержит множитель 1 + i. Поэтому на участке луча до касания первой каустики имеем u_p ~ е^iкх. При R₂< х < R₁, т.е. на отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по dy содержит множитель 1 + i, а интеграл по dz - множитель 1 - i, так что их произведение вовсе не содержит i. Таким образом, имеем здесь:

up ~ - е^iкх = е^i(кх-р/2)                                                                    (14)

т.е. при прохождении луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется на -р/2. Наконец, при х > R₁ имеем

up ~ - е^iкх = е^i(кх-р)                                                                      (15)

т.е. при прохождении вблизи второй каустики фаза еще раз меняется на -р/2.

Наибольший вклад в рассмотрении дифракции сферических или плоских волн, путем изучения дифракционной картины в точке наблюдения, лежащей на конечном расстоянии от препятствия, сделал Френель и поэтому дифракционные явления такого рода называют обычно дифракцией Френеля.

Если источник света и точка Р, в которой мы ищем интенсивность света, находятся на конечном расстоянии от экрана, то для определения интенсивности в точке Р играет роль лишь небольшой участок волновой поверхности, по которой происходит интегрирование в (10) - участок, лежащий вблизи прямой, соединяющей источник с точкой Р. Действительно, поскольку отклонения от геометрической оптики слабы, то интенсивность света, приходящего в Р из различных точек волновой поверхности, очень быстро падает по мере удаления от указанной прямой. Дифракционные явления, в которых играют роль лишь небольшие участки волновой поверхности, носят название дифракции Френеля[5].

Особый интерес для физических применений имеют дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Поставим задачу об определении распределения по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях позади экрана (такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции Фраунгофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем малых отклонений от геометрической оптики, т.е. предполагаем малыми углы отклонения от первоначального направления лучей (углы дифракции).

В опытах Фраунгофера, перед объективом трубы помещался экран с отверстиями, в большей или меньшей степени прикрывающими объектив. Оказалось, что вид изображения наблюдаемого объекта зависит от размеров и формы этих отверстий. Только тогда, когда открыта достаточная часть объектива, изображение имеет вид, точно воспроизводящий форму объекта. При уменьшении же работающей части объектива наблюдаемая картина в большей или меньшей степени искажается и может даже совсем не напоминать формы источника.

Так, например, при рассматривании удаленной светящейся нити через объектив, прикрытый экраном с узкой щелью, в фокальной плоскости объектива видна светлая размытая полоса с несколькими максимумами и минимумами.

Таким образом, изображение, даваемое объективом, есть всегда дифракционная картина, возникающая вследствие ограничения сечения светового пучка.

Это ограничение осуществляется так называемой апертурной диафрагмой объектива, роль которой в простейшем случае играет оправа какой-либо линзы объектива или специальная диафрагма. При значительной работающей части объектива (широкая апертурная диафрагма) наблюдаемая дифракционная картина хорошо воспроизводит вид объекта; при малых ее размерах изображение может сильно (до неузнаваемости) отличаться от объекта.

Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из общей формулы (10), переходя в ней к пределу бесконечно удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Характерной особенностью рассматриваемого случая является при этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая поверхность, по которой производится интегрирование (в противоположность случаю дифракции Френеля, когда важны лишь участки волновой поверхности вблизи края экрана).

Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не прибегая к помощи общей формулы (10).

Обозначим через u₀ то поле позади экранов, которое имелось бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой, однако, имеются участки (отвечающие «тени» непрозрачных экранов) с равным нулю полем. Обозначим буквой S ту часть плоскости поперечного сечения, на которой поле u₀ отлично от нуля; поскольку каждая такая плоскость является волновой поверхностью плоской волны, то u₀ = const вдоль всей площади S.

В действительности, однако, волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской. В ее пространственное разложение Фурье входят компоненты с волновыми векторами различных направлений, что и является источником дифракции.

Разложим поле u₀ в двумерный интеграл Фурье по координатам у, z в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент Фурье имеем:

где q - постоянный вектор в плоскости yz; интегрирование производится фактически лишь по той части S плоскости yz, на которой u₀ отлично от нуля. Если к есть волновой вектор падающей волны, то компоненте поля и_qе^iqr отвечает волновой вектор к' = к + q. Таким образом, вектор q = к' - к определяет изменение волнового вектора света при дифракции. Поскольку абсолютные значения к = к' = w/с, то малые углы дифракции ϴ_y, ϴ_z в плоскостях ху и xz связаны с составляющими вектора q соотношениями:

        (17)

При малом отклонении от геометрической оптики компоненты разложения поля u₀ можно считать совпадающими с компонентами истинного поля дифрагированного света, так что формула (17) решает поставленную задачу.

Определим дифракцию Фраунгофера при нормальном падении плоской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями, прорезанную в непрозрачном экране.

Рисунок 2. Постановка задачи

Решение. Выберем плоскость щели в качестве плоскости yz с осью z вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана). При нормальном падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей, которую мы возьмем в качестве поверхности интегрирования в (16). Ввиду бесконечности длины щели свет отклоняется только в плоскости ху (интеграл (16) обращается в нуль при q_z≠ 0). Поэтому разложение поля u_о должно производиться лишь по координате у:

        (18)

Интенсивность дифрагированного света в интервале углов d есть

   (19)

где к = w/с, I_о-полная интенсивность света, падающего на щель.

Рис. 3

dI/dϴ как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 3. При увеличении ϴ в ту или другую сторону от ϴ = 0 интенсивность пробегает ряд максимумов с быстро убывающей высотой. Максимумы разделены в точках:

    (20)

(п-целые числа) минимумами, в которых интенсивность обращается в нуль.

3. Преломляющая линза

Рис. 4. Преломляющая рентгеновская линза

Теперь рассмотрим оптическую систему, когда в отверстии появляется линза. В этом случае, для расчета дифракции Фраунгофера на круглом отверстии нам надо знать ее функцию пропускания. Для этого нам надо знать форму линзы.

Действительная часть комплексного показателя преломления (1-d) меньше 1, следовательно, фокусирующей линзой для рентгеновского диапазона длин волн будет вогнутая линза, в отличие от выпуклой линзы для оптического диапазона. Минимум поглощения приходиться на центральную часть линзы, а края линзы в большинстве экспериментов не пропускают рентгеновское излучение. В области жесткого рентгеновского излучения имеются материалы, слабо поглощающие рентгеновское излучение. Однако слабая преломляющая способность таких материалов приводит к многоэлементной структуре преломляющей линзы.

Так как оптическая длина пути рентгеновского луча в системе линз увеличена в N раз по сравнению с одной линзой, то можно предположить, что многоэлементная линза при вышеназванных ограничениях может быть представлена в виде одной линзы, комплексный показатель вещества которой выражается в виде [3]:

n=1-d N + i b N                                                                      (21)

Разработанная модель была положена в основу расчета дифракции рентгеновского излучения на преломляющей рентгеновской линзе.

4. Численные расчеты

Распространение рентгеновского излучения в преломляющей рентгеновской линзе может быть описано достаточно строго в рамках элементарной теории идеально монохроматических волн. В большинстве случаев можно полагать, что все рассматриваемые волны линейно поляризованы в одном и том же направлении, и это позволяет описать световую волну в скалярном приближении. Монохроматическую плоскую волну можно записать следующим образом:

     (22)

где w - круговая частота, r - радиус вектор точки наблюдения, k - волновой вектор.

Колебания происходят синфазно во всех точках плоскости волнового фронта kr = const. Когда плоская волна проходит через преломляющую рентгеновскую линзу, изменяются ее амплитуда и фаза. Амплитуда прошедшей волны будет теперь изменяться от точки к точке по некоторому закону П(x). Рентгеновская преломляющая линза двояковогнута и имеет разную в разных точках толщину L(x), то и фронт волны на выходе из транспаранта не будет плоским; он деформирован по некоторому закону ц(x), связанному с вариацией толщины ц(x)=kdL(x). Эти изменения амплитуды и фазы прошедшей волны можно описать с помощью комплексной функции пропускания T преломляющей рентгеновской линзы:

       (23)

Вариации толщины L(x) преломляющей микрокапиллярной линзы будут определяться следующим соотношением[4]:

   (24)

Распределение интенсивности в фокальной плоскости будет описываться интегральным выражением:

     (25)

Где µ - линейный коэффициент поглощения материала, q - определяет изменение волнового вектора при дифракции.

Рис. 5 Распределение интенсивности в фокусной плоскости преломляющей рентгеновской линзы

Рис. 6 Зависимость размера диска Эйри от линейного коэффициента поглощения

Заключение

1.      Выполнены расчеты для дифракции Фраунгофера на круглом полупрозрачном отверстии, характеризующимся функцией пропускания многоэлементной преломляющей рентгеновской линзы.

2.      Учет поглощения излучения в многоэлементной преломляющей рентгеновской линзе приводит к уменьшению радиуса эффективной диафрагмы линзы. При малых значениях линейного коэффициента поглощения материала RNµ << 1 радиус эффективной диафрагмы равен радиусу линзы. При увеличении значения линейного коэффициента поглощения материала RNµ >0.1 радиус эффективной диафрагмы уменьшается. При большим значениях линейного коэффициента поглощения материала RNµ>1, размер эффективной диафрагмы пропорционален µ^-1/2 Значения размера эффективной диафрагмы можно определить по дифракционной картине и, при RNµ = 2 эффективный радиус диафрагмы примерно равен половине радиуса линзы.