Курсовая работа (т): Расчет орбит

Расчет орбит

Оглавление

1. Введение

. Математические модели

.1 Ограниченная круговая задача трех тел

.1.2 Уравнения движения

.2 Точки либрации

.2.1 Положение точек либрации

.3 Типы ограниченных орбит в окрестности точек либрации

.4 Гравитационная задача N тел

.4.1 Уравнения движения частицы в задаче N тел

. Актуальность работы

.1 Актуальность миссий к точкам либрации

.2 Затененность орбит

.3 Информационная система SPICE

. Методы решения

.1 Моделирование движения КА

.2 Поиск начальных условий для долгопериодических орбит

.3 Перенос решения в эфемеридную модель

.4 Расчет затененности

. Результаты

. Заключение

. Список литературы

. Приложение

.1 Список начальных условий

.2 Решения, не вошедшие в основной текст работы

1. Введение

Точки либрации  и  систем двух тел Солнце-Земля и Земля-Луна являются самыми востребованными на сегодняшний день с научной точки зрения. Из их окрестности возможны и удобны как наблюдения за Солнцем, Землей и Луной, так и изучение других планет и астероидов Солнечной системы.

Вопрос исследование ограниченных орбит в окрестности точек либрации рассматривался многими учеными. Существование периодических орбит в условиях задачи трех тел в окрестности коллинеарных точек либрации было впервые показано Анри Пуанкаре в 1890 [5]. В дальнейшем, это послужило основанием теории динамических систем. Также, исследования могут основываться на построении амплитудных карт [1,2]. Роберт Фаркуар в [6] предложил использование периодических и квазипериодических орбит в окрестности точек либрации  и  системы Земля-Луна для размещения на них КА. Тело на таких орбитах может оставаться длительное время, без больших затрат энергии на поддержание траектории.

В главе 3 приведено краткое описание состоявшихся миссий к точкам либраций систем Солнце-Земля и Земля-Луна.

Метод, разработанный в данной работе и представленный в главе 4, опирается на математическую модель, использующуюся в [1], и некоторые результаты [4], в частности, существование долгопериодических орбит Лиссажу.

Орбиты Лиссажу принято считать квазипериодическими, однако, как будет показано в главе 4, среди них можно выделить периодические, которые будут повторять себя каждые несколько оборотов малого тела вокруг центра масс системы.

2. Математические модели

.1 Ограниченная круговая задача трех тел

Задача трех тел является одной из задач небесной механики. Используя набор данных, который описывает начальные позиции, массы и скорости трех тел в определенный момент времени, рассчитывается движение трех тел в соответствии с законами движения и законом всемирного тяготения Ньютона.

Добавим следующие условия: два тела двигаются по круговым орбитам вокруг их общего центра масс, а масса третьего тела пренебрежимо мала по сравнению с конечными массами двух других, что не влияет на их движение. Задача трех тел с данными условиями называется ограниченная круговая задача трех тел. Поскольку орбиты тел в Солнечной системе не являются круговыми, ограниченная задача трех тел является лишь приближением, позволяющим понять поведение орбит относительно простым путем.

2.1.2 Уравнения движения

В круговой ограниченной задаче трех тел будем рассматривать движение частицы пренебрежимо малой массы в гравитационном поле двух тел массами  и . Для ясности положим, что .

Рассмотрим оси  инерциальной системы отсчета, связанной с центром масс системы.

Рис.1 Связь между инерциальными координатами  и вращающимися координатами  частицы, находящейся в точке P

Ось  направлена вдоль прямой от  к  в момент , ось  перпендикулярна ей и лежит в плоскости орбит этих двух тел, а ось  ортогональна плоскости  и направлена вдоль вектора момента количества движения (ось 3 дополняет до правой тройки). Координаты двух массивных тел в данной системе отсчета как  и . Два тела движутся вокруг друг друга и общего центра масс, их угловые скорости постоянны, а расстояние между ними не зависит от времени. Обозначим единицу массы, как . Пусть

тогда массы двух тел в данной системе единиц равны

 и  ,

где . Единица длинны выбирается из соображений, что расстояние между телами равно единице. Отсюда, среднее движение n, одинаковое для обоих тел, также равно единице.

Положим, что координаты исследуемой частицы в инерциальной системе координат равны . Используя векторную форму закона обратных квадратов, составим уравнение движения частицы:

 (1)

 (2)

 (3)

Где

 (4)

 (5)

Два тела в данной задаче движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению n, расстояние между ними не зависит от времени. С данными условиями логично рассматривать движение частицы во вращающейся системе отсчета, в которой оба тела будут находиться в покое.

Введем новую, вращающуюся систему координат. Её начало совпадает с началом системы координат  и находится в центре масс двух тел, она вращается с постоянной угловой старостью n в положительном направлении, ось x выбирается так, чтобы оба тела всегда находились на ней. Запишем положения массивных тел во вращающейся системе координат:

 и

Отсюда найдем расстояние до частицы во вращающейся системе отсчета:

(6)

 (7)

где  - координаты частицы во вращающейся системе. Эти координаты связаны с координатами в инерциальной системе поворотом на nt:

 (8)

Продифференцируем каждую компоненту векторного уравнения два раза. Получим:

 (9)

И

 (10)

При переходе к вращающейся системе в уравнении движения появляются компоненты, пропорциональные  и , отвечающие за ускорение Кориолиса, а так же компоненты  и , отвечающие центробежному ускорению.

Подставим выражения для  в уравнения (1), (2), (3):

 (11)

 (12)

 (13)

Умножим уравнение (11) на , а (12) на  и сложим результаты. Затем уравнение (11) умножим на , а (12) на  и также сложим результаты. После этого уравнения движения во вращающейся системе координат примут вид:

 (14)

 (15)

 (16)

Полученные ускорения так же могут быть выражены как градиент некой скалярной функции U:

 (18)

 (19)

Где

 (20)

В данном уравнении компонента, пропорциональная , является центробежным потенциалом, а компоненты, пропорциональные , - гравитационными потенциалами. Частные же производные от них будут компонентами центробежной и гравитационной сил.

Заметим, что U не является истинным потенциалом, однако из U могут быть выведены некоторые ускорения, испытываемые частицей во вращающейся системе отсчета. Функцию U лучше называть псевдопотенциалом.

.2 Точки либрации

В ограниченной задаче трех тел, описывающей движение тела с пренебрежимо малой массой (например, космический аппарат) в гравитационном поле, создаваемом двумя массивными телами, вращающимися по круговым орбитам вокруг общего барицентра, существует 5 точек, в которых космический аппарат будет находится в состоянии равновесия. Будем называть их точками равновесия или либрации.

Коллинеарные точки либрации (, , ) лежат на прямой, соединяющей массивные тела, и являются неустойчивыми.  и , известные как треугольные точки либрации - устойчивы [3].

Рис. 2 Схема точек либрации в системе двух тел

2.2.1 Положение точек либрации

Круговая ограниченная задача трех тел не является интегрируемой, однако можно найти некоторые частные решения, например, положение точек либрации. Сделать это возможно при условии, что скорость и ускорение частицы равняются нулю во вращающейся системе координат. Далее будем предполагать, что движение частицы происходит в плоскости xy. Данное предположение не влияет на сущность динамики движения частицы [3].

Рассмотрим уравнения движения (17) и (18) при условии . Получим новую систему уравнений:

 (21)

 (22)

Где

 (23)

Вычислим частные производные:

  (24)

 (25)

Уравнения (21) и (22) имеют тривиальное решение

 (26)

что дает  в системе единиц. При подстановке в (6) и (7) получим:

 (27)

Эти уравнения имеют два решения:

 (28)

Полученные решения соответствуют треугольным лагранжевым точкам либрации  и , что можно видеть на рисунке 2.

Из уравнения (25) очевидно, что  является тривиальным решением уравнения (22). Можно сделать вывод, что оставшиеся точки либрации находятся на оси x и удовлетворяют решению (21). В действительности, есть три решения, соответствующие коллинеарным лагранжевым точкам либрации, обозначающихся , , . Точка  лежит между телами  , точка  расположена дальше тела , а  - на отризательной полуслоскости x.

Для точки  имеем следующие условия:

 (29)

Подставим (29) в уравнение (24):

 (30)

Перепишем уравнение (30) в другом виде:

 (31)

Введем величину

 (32)

Воспользовавшись методом Лагранжа для обобщенных рядов, выразим расстояние  через  :

 (33)

Для точки  имеем:

 (34)

Аналогичным методом найдем расстояние от  до :