Курсовая работа (т): Расчет орбит

 (33)

2.3 Типы ограниченных орбит в окрестности точек либрации

В условиях круговой ограниченной задачи трех тел в окрестности точек либрации существуют ограниченные орбиты, требующие минимальных энергетических затрат КА на коррекции поддержания орбиты. В работе [1] был проведен анализ с целью сопоставления вектора начального состояния космического аппарата с типом и характеристиками орбиты, которую он порождает.

Типы орбит:

·        Гало орбиты

·        Квазигало орбиты

·        Орбиты Лиссажу

·        Орбиты Ляпунова

·        Долгопериодические орбиты Лиссажу

Роберт Фаркуар в [6] ввел понятие гало-орбит. Он обнаружил окрестности точек либрации  системы Земля-Луна. Гало орбита является периодической, её периоды по осям X, Y и Z равны времени одного оборота вокруг точки либрации. При движении по такой орбите КА описывает замкнутую кривую, симметричную относительно плоскости XZ.

Малейшее отклонение от начальных условий, соответствующих гало орбите, приводит к рассогласованию колебаний по различным осям, в результате чего траектория движения КА по данной орбите заполняет некоторую фигуру. Данный тип орбит называется квазигало орбитами.

Если частоты колебаний в различных плоскостях существенно отличаются, движение является непериодическим, траектория движения называется орбитой Лиссажу. При бесконечном времени интегрирования получается полностью затененная фигура. Габариты орбит Лиссажу симметричны относительно эклиптики и относительно плоскости XZ.

Для вертикальной орбиты Ляпунова характерно, что период колебаний в плоскости XY в два раза меньше, чем период колебаний по оси Z.

А) Гало орбита

Б) Квазигало орбита

В) Орбита Лиссажу

Г) Вертикальная орбита Ляпунова

Д) Долгопериодическая орбита Лиссажу, T/Tn = 10

Рис. 3 Типы ограниченных орбит

У долгопериодических орбит Лиссажу период больше, чем один оборот вокруг точки либрации. Будем характеризовать их отношением периода орбит (T) к периоду обращения малого тела вокруг большого (Tn).

2.4 Гравитационная задача N тел

Гравитационная задача N тел предполагает нахождение N тел, которые в условиях задачи можно принято считать материальными точками, для которых известны положения и скорости трех и более тел в начальный момент времени . Необходимо определить их положения и скорости в любой момент времени . Первым задачу ???? тел сформулировал Исаак Ньютон. [7]

.4.1 Уравнения движения частицы в задаче N тел

Рассмотрим систему из ???? массивных тел, движение которых определено в некоторой инерциальной системе отсчета. Радиус-векторы тел в данной инетциальной системе отсчета обозначим  Радиус-вектор КА обозначим . Тогда уравнения движения космического аппарата в гравитационном поле N тел можно записать следующим образом:

 (34)

где ???? - гравитационная постоянная.

Пусть  и  - гравитационные параметры главного тела и меньшего тела.

 (35)

Рис. 4 Взаимное влияние центрального тела, КА и третьего массивного тела

Главное (центральное) ускорение:

  (36)

ускорение от третьего тела:

  (37)

где  ;

ускорение начала координат, вызванное третьим телом:

  (38)

Отсюда:

  (39)

Для системы N массивных тел с центром инерциальной системы в одном из них () будет справедливо:

  (40)

3. Актуальность работы

3.1 Актуальность миссий к точкам либрации

Точки либрации L1 и L2 являются самыми востребованными с научной точки зрения, т.к. из их окрестности возможны и удобны как наблюдения за Землей и Солнцем, так и изучение глубокого космоса.

На текущий момент совершено большое количество успешных миссий к точrам либрации, в частности к точке либрации L2 системы Земля-Луна. Возле точек либрации находятся стабильные периодические орбиты, которые можно использовать как для наблюдения за Луной, так и в качестве переходного этапа миссии к более далеким небесным телам.

Аппарат ISEE-3, запущенный в 1978 году, был первым космическим аппаратом, размещенным около точки либрации ????1 системы Солнце-Земля. Одной из целей миссии было изучение солнечного ветра вблизи Земли. Данная миссия оказалась пионерской и показала, что размещение аппарата в окрестности коллинеарных точек либрации возможно не только в задаче трех тел, но и в реальной ситуации.

Космический аппарат SOHO в 1995 году был выведен на квази-гало орбиту в окрестности точки либрации ????1 системы Солнце-Земля. Задачей данной миссии являлось наблюдене за Солнцем и его активностью. По результатам данных, переданных аппаратом на Землю, было открыто множество околосолнечных комет.

Еще одним аппаратом, использующим орбиту около точки лагранжа ????1 системы Солнце-Земля, является WIND, запущенный в 1994 году. Его задачей является изучение солнечного ветра. Также аппарат совершил облёт точки L2. WIND функционирует по сей день.

Также в 2009 году организацией ESA была запущена миссия Herschel, которая на сегодняшний день является самой большой космической обсерваторией. Herschel размещен на орбите Лиссажу около точки L2 системы Солнце-Земля. Миссия предназначена для изучения инфракрасного излучения в космосе.

Основными типами орбит, использующимися в миссиях к точке либрации L2, являются гало и квази-гало орбиты. В данной работе предлагается расчет и исследование резонансных долгопериодических орбит.

До настоящего времени не было осуществлено миссий с выходом на орбиту Лиссажу вблизи точек либрации системы Земля-Луна.

Результаты данной работы могут быть полезными при планировании будущих миссий к точке либрации L2 системы Земля-Луна. Изучается затененность ограниченной орбиты. Если космический аппарат находится в тени Луны, то он не может принимать или передавать сигнал на Землю, что лишает возможности контролировать космический аппарат с Земли.

Для миссий, целью которых является наблюдение или изучение обратной стороны Луны, траектории Лиссажу могут быть намного удобнее, поскольку они обладают меньшей амплитудой, чем гало-орбиты.

3.2 Затененность орбит

Одним из недостатков траекторий Лиссажу по сравнению с гало орбитами является периодическое попадание орбиты в области, которые закрыты Луной при наблюдении с Земли. Из рисунка 2 очевидно, что если поместить КА в точку либрации , то он всегда будет находится за Луной, поэтому связь с Землей не представляется возможной напрямую.

Исходя из этого, для орбит такого типа в системе Земля-Луна необходимо рассчитывать и оценивать периоды затенённости. При проектировании миссии нужно брать в расчет, что в определенные моменты времени связь с аппаратом будет полностью или частично отсутствовать.

Оценивание затененности также важно и в других системах, например, Солнце-Земля. Однако, для точки либрации , важно знать периоды, когда КА находится за Землей при наблюдении с Солнца, не только потому, что наблюдение за Солнцем в эти моменты невозможно, но и потому, что КА не получает достаточно солнечной энергии для поддержания работоспособности.

3.3 Информационная система SPICE

SPICE - система, разработанная Navigation and Ancillary Information Facility (NAIF) под руководством космического агентства NASA (National Aeronautics and Space Administration). Данная информационная система призвана помогать ученым и инженерам NASA в решении задач, связанных с космосом, в частности, в моделировании космических миссий. На сегодняшний день, инструментарий находится в открытом доступе и легко интегрируем с языками программирования C, FORTRAN, IDL. MATLAB.

Основными компонентами системы SPICE являются инструментарий SPICE и файлы данных SPICE, которые часто называют «kernels» (ядра). Ядро - файл, содержащий в себе данные формата, применимого в SPICE. Ядра SPICE состоят из навигационных или любых других структурированных и форматированных данных.

В данной работе также активно использовалась программа «MKSPK», разработанная NAIА, помогающая генерировать новые, или добавлять данные в уже существующие, файлы данных (например, эфемерид космического аппарата или любого другого тела) в формате, поддерживаемом SPICE. MICE является версией SPICE для MATLAB .

4. Методы решения

4.1 Моделирование движения КА

Для начала, необходимо выбрать ограничивающие плоскости , , ,  так, чтобы ограниченная орбита располагалась между ними (рис. 5). Границы могут варьироваться в зависимости от амплитуд орбит. Для заданного вектора состояния численное интегрирование происходит до момента пересечения с одной из границ.

В данной работе использовался численный метод, предложенный в [1].

Уравнения движения КА:

Решения x(t) и y(t) являются линейной комбинацией трех компонент: неустойчивой, устойчивой и ограниченной периодической частей. Алгоритм заключается в поиске таких начальных условий, при которых неустойчивая компонента  равнялась нулю.

После выбора ограничивающих плоскостей, проводится численной интегрирование для заданного вектора состояний до момента пересечения с одной из плоскостей. В случае, когда КА достиг границы  или , коэффициент при неустойчивой компоненте больше нуля; если достигается  или  то коэффициент отрицателен. Конечная координата КА, достигшего ограничивающую плоскость, является функцией начального вектора состояния. Задача поиска вектора начального состояния КА сводится к поиску точки разрыва данной функции. Методом деления отрезка пополам находится точка разрыва функции. Погрешность решения .

Моделирование движения космического аппарата проводилось в среде MATLAB. Для некоторого вектора состояния КА дифференциальные уравнения движения интегрировались методом Рунге-Кутты 4-5 порядка. Данный метод позволяет изменять шаг интегрирования, следовательно, останавливать интегрирование в нужный момент, что необходимо при использовании численной методики, описанной в [1].

Рис. 5 Подбор скорости КА

В среде MATLAB возможно решать краевую задачу с использованием событийных функций, которая возвращает три параметра. Первый (value) является математическим выражением, описывающим событие, которое происходит при значении value = 0. Второй параметр (isterminal) отвечает за остановку интегрирования при наступлении события. В случае, когда значение параметра равно единице, интегрирование остановится; иначе, если его значение равно нулю, интегрирование продолжится после наступления события. При параметре direction = 0 рассматриваются все нули функции, при значении 1 рассматриваются только нули, при которых событийная функция возрастала, при -1, соответственно, когда она убывала.

Рассчитанные орбиты сохранялись для дальнейшего исследования.

.2 Поиск начальных условий для долгопериодических орбит

Поиск начальных условий, которые приводят к ограниченной орбите, осуществляется численно. Для вектора состояний  по алгоритму, описанному в 4.1, находилась скорость, достаточная для совершения минимум одного оборота вокруг точки либрации . Для поддержания КА на ограниченной орбите более долгий промежуток времени необходимы периодические коррекции вектора скорости. Величина коррекций зависит от их частоты. После одного оборота (два пересечения с плоскостью ) выполнялась корректировка скорости. Для долгопериодической орбиты интегрирование проводилось по времени, равному n оборотов малого тела вокруг центра масс системы Земля-Луна.

Используя алгоритм поиска начальных условий для ограниченных орбит в окрестности коллинеарных точек либрации, предложенный в [1], можно построить штрафную функцию, минимизация которой на определенном множестве позволит найти долгопериодическую орбиту.

Полученная орбита визуализируется средствами MATLAB и сохраняется для дальнейшего анализа на затененность.

Начальные положения в плоскости XZ, соответствующие долгопериодическим орбитам около коллинеарной точки либрации  системы Земля-Луна, были рассчитаны в [4] и представлены на рисунке 6.

Рис. 6 Начальные данные для долгопериодических орбит, нанесенные на цветовую карту характеристики . [4]

Поскольку, данная карта не предоставляет точных начальных координат , при помощи которых может быть построена долгопериодическая орбита, требуется построение алгоритма, который на заданном множестве будет искать необходимые .