Курсовая работа (т): Расчет орбит

Указанная ранее штрафная функция строится следующим образом: из начального вектора состояния КА движется в течение времени, равному n оборотов малого тела вокруг большого, что достигается периодическими коррекциями по алгоритму, предложенному в [1]. Величина штрафа равна , где  - компоненты скорости конечного вектора состояния КА, после n оборотов.

Далее, на каждом выбранном отрезке производится минимизация штрафной функции и находится начальный вектор состояния, соответствующий долгопериодической орбите.

Рис. 7 Некоторые множества, на которых происходит поиск минимума целевой функции

Для решения задачи нахождения минимума целевой функции на отрезке от  до  был выбран метод золотого сечения, реализованный при помощи встроенной в MATLAB функции fminbnd. Точка, соответствующая этому экстремуму, является координатами начального положения космического аппарата, которым соответствует долгопериодическая орбита.

Затем, для рассчитанных орбит строится визуализация движения космического аппарата, выполненная в трехмерном виде во вращающейся системе координат с центром в центре масс системы Земля-Луна.

На рисунках ниже можно увидеть, как выглядят эти орбиты в проекции на разные плоскости:

(а) Проекция орбиты на плоскость XY

(б) Проекция орбиты на плоскость YZ

(в) Проекция орбиты на плоскость XZ

Рис. 8 Долгопериодическая орбита, T/Tn = 6

(а) Проекция орбиты на плоскость XY

(б) Проекция орбиты на плоскость YZ

(в) Проекция орбиты на плоскость XZ

Рис. 9 Долгопериодическая орбита, T/Tn = 10

4.3 Перенос решения в эфемеридную модель

Поскольку задача трех тел не является пригодной для баллистического проектирования полета космического аппарата, возникает необходимость переноса решения в эфемеридную модель, которая учитывает эллиптичность орбиты Земли, Луны, а также наклон орбиты Луны относительно плоскости эклиптики. Для поиска долгопериодических орбит в данной задаче использовался алгоритм, описанный в 4.2. Стоит отметить, что расстояние от Луны до коллинеарной точки либрации  изменяется со временем, что может привести к уходу КА с номинальной орбиты.

Для учета влияния указанных выше факторов была использована библиотека MICE для MATLAB и необходимые эфемеридные файлы, загруженные из [11].

С момента времени epoch_time = ‘29 May 2018 01:00:00.0000’ рассчитывалось движение КА по орбите в гравитационном поле Луны, Земли, Солнца. Положения массивных тел в каждый момент определены и находятся из файлов эфемерид. Для долгопериодической орбиты интегрирование проводилось по времени, равному n оборотов малого тела вокруг большого. В данной задаче, период оборота Луны вокруг Земли брался равным 27,3 суток.

Были рассчитаны пять орбит с разными периодами обращения. Две орбиты из семейства T/Tn = 6 и три орбиты из семейства T/Tn = 10. Каждой орбите соответствует разный вектор начальных состояний космического аппарата.

либрация орбита космический плоскость

(а) Проекция орбиты на плоскость XY

(б) Проекция орбиты на плоскость YZ

(в) Проекция орбиты на плоскость XZ

Рис. 10: Долгопериодическая орбита, T/Tn = 10, период 273 суток

(а) Проекция орбиты на плоскость XY

(б) Проекция орбиты на плоскость YZ

(в) Проекция орбиты на плоскость XZ

Рис. 11 Долгопериодическая орбита, T/Tn = 6, период 163,8 суток

Как видно из приведенных выше иллюстраций, долгопериодические орбиты в эфемеридной системе имеют более сложный вид.

Список рассчитанных начальных условий можно найти в приложении.

4.4 Расчет затененности

Рис. 12 Теоретическая область затенения в системе двух тел

Если в некоторый момент времени t, для которого однозначно определено расстояние R между Землей и Луной, КА окажется в области O, области теоретической затененности, то связь с ним с Земли будет затруднена или невозможна, поскольку Луна полностью перекрывает Землю при наблюдении с КА.

Положение КА на рассчитанных долгопериодических орбитах определено с шагом в 20 минут. Каждая позиция геометрически проверяется на попадание в конус затененности.

Для нахождения и исследования интервалов затененности были использованы эфемериды NASA и средства пакета MICE, в частности, функция cspice_occult(), которая возвращает числовое значение от -3 до 3 в зависимости от взаимного расположения двух небесных тел и космического аппарата.

5. Результаты

В результате работы, было рассчитано пять долгопериодических орбит с разными периодами обращения в окрестности точки либрации L2. Полученные массивы данных содержат в себе положения космического аппарата в инерциальной системе координат, связанной с Луной, а также интервалы времени, на которых рассчитана орбиты. Построение визуального представления во вращающейся системе координат было получено с использованием средств SPICE.

Для каждой орбиты был применен алгоритм поиска интервалов затенения, описанный в 4.3. Результатом работы алгоритма является нанесение на орбиты маркеров, обозначающих, что данная точка находится в тени, т.е. связь КА с Землей невозможна из-за перекрытия планеты Луной.

Помимо графической интерпретации решения, для каждой орбиты рассчитаны максимальные и минимальные интервалы затенения, а также отношение общего времени затенения к периоду орбиты.

Пример результата работы программы:

(а)Проекция орбиты на плоскость XZ, Красный пунктир - теоретический конус затенения

(б)Проекция орбиты на плоскость YZ

Рис. 13 Теоретический конус затенения и точки затенения долгопериодической орбиты, начальные условия (20.3), T/Tn = 10, период 273 суток

·        Минимальный интервал затенения: 1 час 40 минут.

·        Максимальный интервал затенения: 10 часов 50 минут.

·        Общее время нахождения КА в тени: 110 часов (1.6789%).

Алгоритм поиска участков затененности был применён для пяти долгопериодических орбит Лиссажу. Результаты собраны в одну таблицу:

Таблица 1

Время нахождения КА в тени

Чем выше полный период долгопериодической орбиты, тем ближе она расположена к коллинеарной точке либрации . Также, была выявлена зависимость полного периода и амплитуды колебаний. Для орбит, период которых составляет 10 оборотов малого тела системы вокруг большого амплитуда колебаний по оси Z в два раза меньше, чем для орбит с периодом 6 оборотов малого тела вокруг большого. То же самое можно сказать об амплитудах колебаний по оси Y: они больше у орбит с более низким отношением T/Tn. Общее время затененности варьируется внутри и между классов, в среднем составляет 2% от общего периода орбиты и во многом зависит от начального положения КА в плоскости XZ, а не от класса орбиты. Максимальные интервалы затененности близки у орбит с одинаковым отношением T/Tn, что нельзя сказать о минимальных интервалах. Максимальные и минимальные интервалы затененности, а также общее время нахождения КА в тени, короче у орбит с более низким отношением T/Tn.

6. Заключение

Был разработан и применен алгоритм поиска начальных условий для долгопериодических орбит Лиссажу. В условиях ограниченной круговой задачи трех тел орбиты были рассчитаны и визуализированы во вращающейся системе координат. Полученное решение затем перенесено в эфемеридную модель Солнечной системы. Пять долгопериодических орбит Лиссажу с разными периодами, рассчитанных в окрестности точки коллинеарной точки либрации  системы Земля-Луна, были исследованы на наличие точек затененности. Также выявлены некоторые зависимости между параметрами орбиты и интервалами её затененности.

Все результаты работы были наглядно представлены на графиках во вращающихся системах координат, а также для каждой орбиты были выписаны максимальное, минимальное и общее время нахождения в тени.

7. Список литературы

[1] Аксенов С.А., Бобер С.А., Николаева Ю.А. Компьютерное моделирование движения космического аппарата в окрестности точки либрации L2 системы Солнце-Земля. Королев: Типография ЦНИИмаш, 2015.

[2] Николаева Ю.А., Аксенов С.А., Бобер С.А Исследование зависимости формы ограниченной орбиты КА от начального вектора состояния в окрестности точки либрации l2 системы Солнце-Земля // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. 2015. № 18. С. 154-163

[3] Мюррей К., Дермотт С. Динамика солнечной системы. М.: Физматлиб, 2010. С. 80-99

[5] Poincaré J.H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique // Acta Mathematica. 1890. V. 13. P. 1-270.

[6] Farquhar R.W. The control and use of libration-point satellites // USA: Washington. Technical Report. 1970.

[7] Roy A.E. The Foundations of Astrodynamics. New York: Macmillan, 1965. P. 124-126.

[8] Folta D., Bosanac N., Guzzetti D., Howell K. An earth-moon system trajectory design reference catalog // Acta Astranautica. 2015. V. 110. P. 341-353.

[9] Kolemen E., Kasdin N., Gurfil P. Quasi-periodic orbits of the restricted three-body problem made easy // New Trends in Astrodynamics and Applications III. 2007. V. 886. P. 68-77.

[10] Суханов А.А Астродинамика. М.: Учреждение Российской академии наук Институт космических исследований РАН, 2010 С. 42-43.

[11] Introduction to the SPICE System. URL: https://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/MATLAB/info/intrdctn.html (дата обращения 20.05.2017).

8. Приложение

.1 Список начальных условий

Все начальные условия представлены в километрах в следующей системе координат:

·        Ось X направлена от Земли к Луне в момент времени epoch_from.

·        Ось Y направлена по вектору скорости Луны относительно Земли в момент времени epoch_from.

·        Ось Z дополняет оси XY до правой тройки.

Список начальных условий:

(12.1) -= 3.402991868772839e+04;

y0 = 0;= 5.710011616038801e+04.

(12.2) -= 3.200006610696135e+04;= 0;= 5.999933893038648e+04.

(20.1) -= 5.230559649391512e+04;= 0;= 3.025202413778690e+04.

(20.2) -= 5.352500638514318e+04;= 0;= 2.700026442784541e+04.

(20.3) -= 5.226583995368575e+04;0 = 0;

z0 = 2.859265591899460e+04.

8.2 Решения, не вошедшие в основной текст работы

. Теоретический конус затенения и точки затенения долгопериодической орбиты, начальные условия (20.1), T/Tn = 10, период 273 суток

(а)Проекция орбиты на плоскость XZ,

(б)Проекция орбиты на плоскость YZ

Красный пунктир - теоретический конус затенения

·        Минимальный интервал затенения: 50 минут.

·        Максимальный интервал затенения: 10 часов 50 минут.

·        Общее время нахождения КА в тени: 153 часа 20 минут (2.3403%).

. Теоретический конус затенения и точки затенения долгопериодической орбиты, начальные условия (20.2), T/Tn = 10, период 273 суток

(а)Проекция орбиты на плоскость XZ,

(б)Проекция орбиты на плоскость YZ

Красный пунктир - теоретический конус затенения

·        Минимальный интервал затенения: 3 часа 3 минуты 20 секунд.

·        Максимальный интервал затенения: 11 часов 56 минут 40 секунд.

·        Общее время нахождения КА в тени: 110 часов (2.5607 %).

. Теоретический конус затенения и точки затенения долгопериодической орбиты, начальные условия (12.1), T/Tn = 6, период 163,8 суток

(а)Проекция орбиты на плоскость XZ,

(б)Проекция орбиты на плоскость YZ

Красный пунктир - теоретический конус затенения

·        Минимальный интервал затенения: 16 минут 40 секунд.

·        Максимальный интервал затенения: 5 часов 33 минуты 20 секунд.

·        Общее время нахождения КА в тени: 65 часов 16 минут 40 секунд (1.6605%).

. Теоретический конус затенения и точки затенения долгопериодической орбиты, начальные условия (12.2), T/Tn = 6, период 163,8 суток

(а)Проекция орбиты на плоскость XZ,

(б)Проекция орбиты на плоскость YZ

Красный пунктир - теоретический конус затенения

·        Минимальный интервал затенения: 3 часa 53 минуты 20 секунд.

·        Максимальный интервал затенения: 5 часов 16 минут 40 секунд.

·        Общее время нахождения КА в тени: 94 часа 26 минут 40 секунд (2.4024%).