передвижение линии раздела нефть — вода) и низкая надеж ность. Методы электромоделирования сейчас практически не ис пользуются. ЭВМ вытеснили электромоделирование. Знакомство с ним может помочь в решении отдельных частных задач раз работки.
Численные методы математического моделирования
Численные методы заключаются в определении с помощью ЭВМ численных значений функции в некоторых дискретных точках для заданных численных значений аргумента, т. е. решение по лучается в некоторых точках пространства. Для этого простран ственная область фильтрации мысленно разделяется на ряд квадратов или блоков путем наложения сетки определенного типа (в большинстве равномерной квадратной сетки). Иссле дуемый интервал времени также разделяется на отдельные элементарные интервалы с постоянным шагом. Преобразование непрерывных дифференциальных уравнений к дискретному виду осуществляется с помощью метода конечных разностей. Полу чить конечно-разностные уравнения можно методом разложе ния функции в ряд Тейлора в заданной точке, решая уравне ние относительно искомой производной.
Разложение функции в ряд Тейлора с использованием раз ностей прямых (вперед) и обратных (назад) соответственно мо жно записать:
р ( х + А х ) = р ( х ) + - ^ - А х + ~ - ^ - А х 2 + — - ^ Д г * + |
|||
' |
дх |
2 |
6 Зх» |
|
+ i r ^ |
A x ,+ |
<2Л0> |
р { х - Л х ) = р ( х ) |
^ A X + Y ~ S ~ А х ’ |
5“ '5 "Д *’ + |
|
|
д*р |
д*4+ |
(2. 11) |
~дх*
Из этих уравнений вычитанием определяем первую производную:
_др_ ^ |
Р(х + _Ах) —р (х) |
0 {Ах). |
дх |
Ах |
' |
J p _ ^ |
р(х) р(х Ах) |
+0(Ajc)> |
дх |
Ах |
|
(2. 12)
(2.13)
где О(Дх)— погрешность усечения (остаток), связанная с ап проксимацией функции; имеет порядок Дх.
Сложив уравнения (2.10) и (2.11), получим вторую произ водную
Р (х + Ах) —2р (X) + р (х — Ах) |
^ |
(2.14) |
дх2 |
|
|
|
|
Таким образом, для дискретной системы точек, пренебрегая погрешностью усечения, имеем:
др |
__ |
Pi+i — Pi . |
(2.15) |
|
дх |
|
Дх |
|
|
|
|
|
||
др |
_ |
Pi — Pt-i . |
(2.16) |
|
дх |
|
.Ах |
* |
|
|
|
|||
&Р __ |
Pi+i — 2Pi + |
P i-i |
(2.17) |
|
дх2 |
|
Ах2 |
|
|
|
|
|
||
Отсюда понятно, что численные методы всегда приближен ные, так как замена производных отношением конечных прира щений вносит погрешность. Она тем меньше, чем меньше при ращения (шаг). Для перехода к конечно-разностному уравне нию обозначим узловые точки вдоль оси х индексом /, вдоль оси у — индексом /, вдоль оси времени t — индексом k. Имеются два основных способа перехода от значений на прежнем уровне времени к значениям на новом уровне: явная схема, когда но вые значения функции для каждой точки вычисляются по зна чениям соседних точек прежнего уровня; неявная схема, когда все неизвестные значения нового уровня определяются одновре менно. Для решения двумерных задач применяется неявная схема. Использование ее дает конечно-разностный аналог, на пример, дифференциального уравнения упругого режима в од нородном пласте
д2р |
, |
д2р |
__1_ |
др |
|
(2.18) |
дх2 |
+ |
ду2 |
~~ х |
dt |
|
|
|
|
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
Рм. /■ft+l— 2р». /. k+l + Pi-l. /■fe+l |
| |
Pi.l+l. k+l —2Pi, j.-k+l + Pi, 7-t. k+1 _ |
||||
Ax2 |
|
|
|
Ay2 |
|
|
_ 1 |
Pi, /, k+l — Pi. /. k |
|
(2.19) |
|||
x |
|
|
At |
|
|
|
где к = £/(|.ф*)— коэффициент пьезопроводности пласта. |
|
|||||
В данном уравнении пять неизвестных давлений |
Pt.i.u+u |
|||||
Рс.,+i.k+1, Pi+i,l.k+i, P U -!.*«. |
Pi- |
|
Такие уравнения |
запи |
||
сываем для каждой узловой точки сеточной области интегриро вания (фильтрации) на (&+1)-й момент времени. Получаем, вместо дифференциального уравнения систему из N алгебраиче ских уравнений с N неизвестными, решая которую, определяем с помощью ЭВМ искомые давления в каждой узловой точке. Выполняя аналогичные расчеты для других временных уров ней, находим изменение давления во времени в каждой узловой
точке.
Для расчета при k = 0 задается начальное условие. При зна чениях i и /, соответствующих узлам на внешней границе, ис пользуются граничные условия. Внешняя граница аппроксими руется ломаной сеточной границей. Аппроксимировать контур скважины не представляется возможным, так как применяемый шаг сетки (100—2000 м) существенно больше радиуса сква жины. Г Г. Вахитов показал, что в узловых точках расположе ния скважин вычисляемые давления равны давлениям на забое
некоторой |
фиктивной («точечной») |
скважины с радиусом |
гСф = 0,2 Дл: |
(при Дх=Ду). Тогда для |
расчета забойного давле |
ния в реальной скважине требуется учесть фильтрационное со противление между контурами фиктивной и реальной (с приве денным радиусом) скважин.
Математические модели процесса разработки нефтяных месторождений
Математическую модель процесса разработки нефтяного место рождения составляют совместно модель пласта и модель про цесса извлечения нефти.
Модель пласта — это система количественных представлений о его геолого-физических свойствах, используемая в расчетах разработки нефтяного месторождения. Построение модели пла ста в конкретном случае на основе разрозненной исходной ин формации требует творческого подхода и научного поиска. От принятой модели зависит надежность полученных результатов проектирования. В отличие от модели пласта расчетная схема учитывает только геометрическую форму пласта, согласно ко
торой его можно представить прямолинейным, |
круговым и т. д. |
С развитием теории разработки нефтяных |
месторождений |
представления о моделях пластов изменялись, усложнялись мо дели пластов, учитывалось большее число факторов реального пласта. Одна из первых моделей пласта — модель однородного по параметрам пласта. Она реализует гипотезу об однородности пласта как по площади, так и по вертикальному разрезу за лежи. Главные параметры модели — это абсолютная проницае мость, пористость, нефтенасыщенность и эффективная толщина. Их определяют по данным промыслово-геофизических исследо ваний скважин. С использованием кернов определяют порис тость, абсолютную проницаемость и реже нефтенасыщенность. Затем устанавливают статистическую связь между результа тами лабораторных и промыслово-геофизических исследований (обычно в виде количественных зависимостей). По этим зави симостям определяют средние значения изучаемых параметров в каждой скважине, которые усредняют для пласта в целом. При таком построении модель является вероятностно-стэтисти-
ческой. Для построения ее можно использовать также резуль таты гидродинамических исследований скважин и пластов. Та кая модель позволяла получить относительно строгие аналити ческие выражения для расчета процессов движения флюидов. Однако, сочетая модель однородного пласта с моделью поршне вого вытеснения нефти, устанавливали, что разработка место рождения при заводнении может осуществляться без отбора воды. Такое в принципе противоречит фактическим данным. Это привело к тому, что нашли распространение модели слоисто-не однородного пласта.
Модель слоисто-неоднородного пласта включает в себя се рию (два или более) пропластков (слоев) разной проницаемо сти, которые либо разделены практически непроницаемыми тон кими пропластками, либо гидродинамически свободно сообща ются между собой, либо частично сообщаются между собой. Обычно используется первая модификация. Пласт может ха рактеризоваться закономерным или обычно вероятностным (слу чайным) распределением проницаемости слоев в разрезе. По строение модели аналогично предыдущему, однако при этом не обходимо определение параметров не только пласта в целом по скважинам, но и отдельных его слоев. Для этого использу ются методы детальной корреляции разрезов пластов, промыс лово-геофизических и лабораторных исследований, а также изу чения профилей притока (отбора) в добывающих скважинах и
приемистости (поглощения, |
закачки вытесняющего агента) |
в нагнетательных скважинах |
(глубинная дебито-, расходоили |
термометрия). |
|
В скважинах осуществляют отбор керна, проводят промыс лово-геофизические исследования, в том числе глубинную профилеметрию, изучают в лаборатории керны и строят при увязке всех данных зависимость пористости, проницаемости и других параметров от промыслово-геофизических данных. На основе полученных зависимостей определяют параметры слоев во всех скважинах. По этим данным строят гистограммы прони цаемости (аналогично других параметров), которые принимают за плотности вероятностно-статистического распределения пара метров и используют при окончательном представлении модели
пласта.
Эта модель уже учитывает реальную неоднородность пла стов и позволяет рассчитывать добычу обводненной продукции даже в сочетании с моделью поршневого вытеснения. Различ ные модификации ее связаны в основном с принятием того или иного теоретического закона распределения проницаемости. В нефтепромысловой практике используются различные законы распределения: нормальный (Гаусса), Максвелла, видоизменен ные Максвелла (Б. Т. Баишева, М. М. Саттарова), гамма-рас пределения, логарифмически нормальный и др.
Модель зонально-неоднородного пласта представляет реаль ный неоднородный пласт состоящим из зон различной прони цаемости. Дальнейшим развитием этой модели было принятие большого числа хаотически расположенных зон, обладающих различными свойствами.
В 50-е годы возникли и стали развиваться модели трещино ватых и трещиновато-пористых пластов. В этих моделях соот ветственно непроницаемый и проницаемый однородные пласты рассекаются трещинами на блоки (матрицы) породы.
Процесс извлечения нефти из пласта при различных усло виях описывается соответствующей математической моделью. В общем случае флюиды в потоке могут быть представлены од ной или несколькими фазами (двумя жидкими, газовой и ино гда твердой). Отсюда движение в пласте может быть одноили многофазным.
Нефть и газ представляют собой смесь индивидуальных угле водородных и неуглеводородных компонентов. При разработке месторождений зачастую происходит переход из одной фазы в другую этих компонентов, а также вытесняющих агентов, что влечет за собой изменение составов и свойств движущихся мно
гокомпонентных фаз. Для учета фазовых переходов |
нефть и |
газ представляют как отдельные фазы, включающие |
соответ |
ственно ограниченное количество условных компонентов, объе диняющих некоторые группы индивидуальных веществ. Напри мер, газ часто принимают двухили трехкомпонентным. Наибо лее распространено представление нефти в виде двух условных компонентов — «нефти» и «газа» — с фазовым переходом по за кону Генри. С учетом представления флюидов математическая модель процесса извлечения нефти может быть одно-, двухили трехфазной. Отсюда еще при вытеснении, например, нефти во дой различают модели поршневого и непоршневого вытеснения.
Различное сочетание рассмотренных моделей пластов и мо делей процесса извлечения нефти определило создание конкрет ных моделей процесса разработки и методик расчета. Методикой расчета называют процедуру выполнения вычислений на основе принятой модели. Ввиду большой сложности механизма много фазной фильтрации в неоднородных пластах и соответственно исходной системы описывающих ее дифференциальных уравне ний, сначала развивались аналитические методы расчета, кото рые в основном сводились к приближенному решению уравне ний при тех или иных допущениях и краевых условиях. Различ ные предпосылки и подходы многих авторов к решению одной и той же задачи привели к созданию значительного количества разных методик расчета технологических показателей. Напри мер, только для расчета вытеснения нефти водой насчитыва ется несколько десятков методов советских и зарубежных ав торов. Применение приближенных аналитических моделей при