Курсовая работа (т): Разработка математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на перевозки в зависимости от увеличения грузооборота

Средний коэффициент эластичности для показательной функции:

В таблицах 5.1, 5.2, 5.3 вычислены коэффициенты эластичности для линейной, степенной и показательной функций регрессии соответственно:

Таблица 5.1

Таблица 5.2

Таблица 5.3

Анализ разработанных математических моделей показывает, что увеличение на 1% грузооборота, например, Московской железной дороги (№2), приводит к увеличению на 0,776; 0,595; 0,614% расходов на перевозки. При этом по линейной модели это увеличение составляет 0,78%, по степенной функции регрессии - 0,59%, по показательной функции регрессии - 0,78%.

Рис. 5.1 «Значения коэффициентов эластичности линий линейной, степенной и показательной функций регрессии»

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

Оценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть грузооборот не оказывает влияния на расходы на перевозки. Альтернативная гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

Fфакт = Sфакт2 / Sост2,

где Sфакт2 - факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sфакт2 = ((ŷx1 - )2 + (ŷx2 - )2 + ...+ (ŷx17 - )2) / 1;

Sост2 - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sост2 = ( (y1 - ŷx1)2 + (y2 - ŷx2)2 + ...+ (y17 - ŷx17)2 )/ n - 2.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значение F-критерия Фишера - это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0,05.

Если Fтабл < Fфакт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы k1 = 1, k2 = 15 получаем Fтабл = 4,54. Выполнив расчет, получим Fфакт = 2441938,544 / 61451245,963 = 25,16.

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии.

7. Расчет прогнозного значения расходов на перевозки по линейной модели при увеличении грузооборота

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение расходов на перевозки, если прогнозное значение грузооборота железной дороги увеличится на 10% от среднего значения всех дорог. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение грузооборота составит:

= 1,1 · = 1,1 ·64723 = 71195,3 млн.ткм

то прогнозное точечное значение расходов на перевозки можно вычислить по соотношению:

ŷx = 1186+0,058· xр = 1186+0,058 · 71195,3 =

=5322,45 млрд.руб.

Для определения доверительного интервала прогноза расходов на перевозки необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

ŷp = Sост · (1 + 1 / 17 + ( xp - )2/( (x1 - )2 + (x2 - )2 + ... + (x17 -- )2))1/2 = 1562,67· (1 + 1/17 + (71195,3 -64723)2 /18204892818)1/2 = 0,0006

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

∆ŷp = tтабл · mŷp =2,131 · 0,0006 = 0,0012.

Здесь tтабл - табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n - 2 = 15 и уровне значимости 0,05 равное tтабл = 2,131.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза расходов на перевозки при прогнозируемом увеличении грузооборота на 10% можно вычислить по формулам:

ŷxp min = ŷxp - ∆ŷp =5322,45 - 0,0012=5322,4470 млрд.руб.;

ŷxp max = ŷxp + ∆ŷp = 5322,45 + 0,0012=5322,4494 млрд.руб.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что с вероятностью 0,95 она достаточно точна. Выполненный прогноз расходов на перевозки является надежным и находится в пределах от 5322,4470 млрд.руб. до 5322,4494 млрд.руб.

8. Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel.

.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

Статистическая функция ЛИНЕЙН позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

ŷx = a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

) подготовку исходных данных;

) выделение области пустых ячеек 5 ´ 2 для вывода результатов регрессионной статистики;

) активизацию Мастера функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ;

) в окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН; затем щелкнуть по кнопке ОК;

) заполнить аргументы функции;

) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу F2, затем нажать комбинацию клавишей CTRL + SHIFT + ENTER.

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели расходов на перевозки в зависимости от грузооборота 17 дорог по статистическим данным Рф.

.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

Для активизации надстройки «Пакет анализа» необходимо открыть меню «Сервис» и щелкнуть по строке «Надстройки…». В открывшемся меню следует отметить строку «Пакет анализа» и подтвердить выбор кнопкой «ОК».

Инструмент анализа «Регрессия» пакета анализа данных Excel позволяет по введенным статистическим данным получить значения выборочных коэффициентов корреляции и детерминации, стандартного отклонения; разложения общей суммы квадратов на объясненную и остаточную, расчетное значение -статистики и уровень значимости на котором расчетная -статистика равняется соответствующей табличной величине; значения регрессионных параметров, их стандартные ошибки, и -статистики; таблицу теоретических значений и величины их отклонений от опытных данных; график статистических данных с линией регрессии и график остатков; и другие статистические оценки.

Вызов опции «Регрессия» осуществляется через надстройку «Анализ данных…» меню «Сервис».

Вызов надстройки «Анализ данных…» приведет к появлению списка инструментов анализа. В этом списке необходимо выбрать «Регрессия» и подтвердить выбор нажатием кнопки «ОК».

Интерфейс инструмента анализа «Регрессия» представляет собой диалоговое окно, в верхней части которого следует ввести статистические данные результирующей переменной в поле «Входной интервал Y» и данные фактора в поле «Входной интервал X». При необходимости построения уравнения регрессии вида  нужно задать параметр «Константа-ноль». Параметр «Уровень надежности» в процентах определяет величину доверительной вероятности . В качестве выходного интервала удобно задать адрес ячейки непосредственно рядом с таблицей исходных данных. Рекомендует активизировать параметры «Остатки» (таблица теоретических значений результирующего показателя и соответствующие значения остатков), «График остатков» (график отклонений теоретических значений результирующего показателя от его опытных значений) и «График подбора» (график статистических данных с соответствующими теоретическими величинами, вычисленными по уравнению регрессии).

После подтверждения настроек нажатием кнопки «ОК» итоги регрессионного анализа высветятся в заданной области.

Ниже приведены пояснения к итогам расчетов инструмента анализа «Регрессия».

. Регрессионная статистика:

Множественный R - выборочный коэффициент корреляции;квадрат - выборочный коэффициент детерминации;

Нормированный R-квадрат - выборочный скорректированный на объем выборки коэффициент детерминации;

Стандартная ошибка - стандартная ошибка результирующей переменной;

Наблюдения - объем выборки.

. Дисперсионный анализ:

Регрессия - строка таблицы, соответствующая объясненной сумме квадратов отклонений;

Остаток - строка таблицы, соответствующая остаточной сумме квадратов отклонений;

Итого - строка таблицы, соответствующая общей сумме квадратов отклонений;

df - столбец значений числа степеней свободы;

SS - столбец значений сумм квадратов отклонений;- столбец значений сумм квадратов отклонений отнесенных к числу степеней свободы;

F - расчетное значение -статистики;

Значимость F - значение уровня статистической значимости, при котором табличное значение -статистики с числом степеней свободы 1 и  будет равно расчетной -статистике (если это значение меньше заданного уровня значимости, то есть основание отвергнуть гипотезу о статистической ненадежности уравнения регрессии).пересечение - строка таблицы соответствующая свободному регрессионному коэффициенту;

Переменная X1 - строка таблицы соответствующая регрессионному коэффициенту при переменной ;

Коэффициенты - столбец значений регрессионных параметров;

Стандартная ошибка - столбец значений выборочных среднеквадратичных отклонений регрессионных параметров;статистика - столбец расчетных значений -статистик регрессионных параметров;

. Вывод остатков:

Наблюдения - номера наблюдений по порядку;

Предсказанное Y - теоретические значения результирующего показателя, соответствующие опытным величинам;

Остатки - отклонения (разность) теоретических значений результирующего показателя и соответствующих опытных значений.

.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Построению линий регрессии и получению регрессионных зависимостей в Excel с помощью процедуры «ТРЕНД» предшествует создание точечных графиков исходных данных. Построение точечных графиков начинается с вызова мастера диаграммы, в окне которого на вкладке «Стандартные» выбирается тип «Точечная» и вид позволяющий сравнивать пары значений.

Построение графика заключается в добавлении нового ряда статистических данных. Для этого на вкладке «Ряд» «Мастера диаграммы» необходимо нажать кнопку «Добавить». Добавление нового ряда данных требует ввода его имени и значений фактора и результирующего показателя соответственно в поля «Значения X» и «Значения Y».

На построенном графике следует щелкнуть правой кнопкой «мыши» по одной из точек графика и в появившемся меню выбрать «Добавить линию тренда». На вкладке «Тип» окна «Линия тренда» выбирается вид построения линии тренда «Линейная». Изменить название и использовать возможность отображения уравнения на диаграмме можно на вкладке «Параметры».

Рис.8.1 «Линии тренда»

Выводы

1.      В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели расходов на перевозки в зависимости от грузооборота. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения расходов на перевозки и грузооборота 17 железных дорог, расположенных на территории РФ. Для выбора и обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

2.      Выполнена оценка тесноты связи расходов на перевозки и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между расходами на перевозки и грузооборотом показывают, что для практических целей целесообразно использовать линейную модель, она несколько лучше степенной, поскольку обладает высоким коэффициентов корреляции и детерминации. Индекс корреляции в показательной модели не лежит в пределах от 0 до 1, следовательно, он не показателен.

3.      Проведена оценка качества уравнения регрессии с помощью ошибки аппроксимации. Анализ ошибки аппроксимации функций регрессии показывает, что она находится в допустимых для практического использования пределах, но с теоретической точки зрения необходим поиск более качественной функции регрессии. Из трех моделей можно выделить степенную, так как она имеет минимальную ошибку аппроксимации, по сравнению с другими моделями:

- для линейной функции: А = 46 %

- для степенной функции: А = 20 %

для показательной функции: А = 48 %.

4.      Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (грузооборот) с результатом (расход на перевозки) с помощью среднего коэффициента эластичности. Анализ разработанных математических моделей показывает, что увеличение на 1% грузооборота, например, Московской железной дороги (№2), приводит к увеличению на 0,776; 0,595; 0,614% расходов на перевозки. При этом по линейной модели это увеличение составляет 0,78%, по степенной функции регрессии - 0,59%, по показательной функции регрессии - 0,61%.

5.      Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что Fтабл < Fфакт (4,54 < 25,16), значит необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии и оцениваемой модели, а также принять альтернативную гипотезу о статистической надежности линейного уравнения регрессии.