Материал: Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Среднее время между соударениями hτi связано с длиной свободного пробега hλi соотношением

Задача 5. Как зависит средняя длина свободного пробега hλi и среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени от температуры T идеального газа в следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном; в) адиабатном?

Решение. Средняя длина свободного пробега молекулы hλi определена соотношением (12):

1

hλi = √2σn.

Учитывая, что концентрация молекул n связана с объемом газа V формулой

Среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени связано с hλi соотношением

hfi = hhvλii,

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где hvi — средняя скорость теплового движения молекул, определенная выражением (16)

Следовательно, в этом процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const ∙ T ; hfi = const ∙ T 1/2.

Визохорном процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const; hfi = const ∙ T −1/2.

Вадиабатном процессе из уравнения Клапейрона — Менделеева и уравнения Пуассона

pV γ = const,

где γ — показатель адиабаты, следует

T V γ−1 = const.

Отсюда

1

V = const ∙ T 1−γ . В соответствии с (32) и (33) мы получим

Задача 6. Один из методов экспериментального определения длины свободного пробега атомов и молекул, реализованный в эксперименте М. Борна и Е. Бормана в 1921 г., состоял в следующем. Пучок атомов серебра пропускался через замкнутый сосуд

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

с сильно разреженным воздухом, давление в котором можно было регулировать с помощью вакуумного насоса. В опыте исследовалась зависимость интенсивности пучка атомов от расстояния, пройденного пучком. Каким образом из результатов этого эксперимента можно извлечь информацию о длине свободного пробега атомов серебра в воздухе?

Решение. Уменьшение количества атомов серебра в пучке связано с тем, что они рассеиваются вследствие столкновений с молекулами воздуха.

Если N — число атомов, прошедших без столкновений расстояние x, а |dN| — число атомов, выбывших из пучка вследствие столкновений с молекулами воздуха в слое толщиной dx, то веро-

сти столкновения атома с молекулой воздуха в слое толщиной dx,

dx

т. е. равна отношению hλi, где hλi — средняя длина свободного пробега атомов серебра в воздухе. Следовательно,

−dNN = hdxλi.

Интегрируя последнее равенство, получаем

где N0 — число атомов в пучке при x = 0. Отсюда, располагая экспериментальными данными для зависимости N (x), можно оценить величину hλi.

Зависимость N (x) можно получить, используя (как это и было сделано в оригинальном эксперименте) метод осаждения серебра на охлаждаемых стеклянных пластинках: чем больше N, тем более плотный слой серебра окажется на стеклянной пластинке, преграждающей путь пучка при фиксированном времени экспонирования.

Задача 7. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной H = 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси OZ. Радиус внутреннего цилиндра R1 = 49 мм, радиус внешнего

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

R2 = 50 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр вращается с постоянной частотой f1 = 20 c−1. Внешний цилиндр в начальный момент времени неподвижен. Определите, за какой промежуток времени t с момента освобождения внешнего цилиндра его частота вращения f2 станет равной 10 c−1. Эффективный диаметр молекулы воздуха при нормальных условиях d0 = 0, 3 нм. Масса внешнего цилиндра m = 100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра в воздушном зазоре возникает градиент скорости, который можно считать приблизительно постоянным:

На каждый элемент поверхности S внешнего цилиндра действует сила вязкого трения, направленная по касательной к поверхности, в соответствии с (2) и (7):

Тогда, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела, закон изменения момента импульса внешнего цилиндра можно записать в виде

где момент инерции внешнего цилиндра I = mR22. Последнее уравнение удобно переписать в виде

I ddtω2 = A − B ω2,

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учитывая явный вид коэффициентов A и B, определенных выражениями (34), а также формулу для момента инерции тонкостенного цилиндра, получаем

где τ — параметр, имеющий размерность времени. Тогда зависимость угловой скорости внешнего цилиндра от времени будет