Материал: Синтез дискретных систем управления

. (25)

Здесь  - временной масштабный коэффициент.

Из этой же таблицы выбирается значение времени регулирования , которое используется для вычисления требуемого значения коэффициента  по формуле

 ,(26)

Подставляя полученное значение  в (25), найдем желаемую передаточную функцию , т.е.

.(27)

Далее находятся полиномы  и  желаемой передаточной функции (24) дискретной системы по формуле, аналогичной (19):

 . (28)

Z-преобразование в (28) можно также выполнить описанным в разделе 14.3 способом по формулам (14.3) - (14.10), (14.15), записав соответствующие передаточной функции  уравнения в переменных состояния.

Таким образом, с помощью соотношений (25)­­-(28) определяются полиномы  и  желаемой передаточной функции  (24), при которой проектируемая дискретная система имеет требуемые порядок астатизма, перерегулирование и длительность переходных процессов (при запаздывании в ЦУУ на один период). При этом параметр k остается пока неизвестным.

Следующий этап рассматриваемой методики синтеза связан с реализацией найденной передаточной функции , т.е. с определением полиномов ,  и  из уравнения ЦУУ (21). Эти полиномы удобнее всего определить путем приравнивания  и передаточной функции системы (20), (21). При этом для выполнения условий физической реализуемости передаточной функции  рассматриваемой системой с частично заданной структурой (рис. 3) числитель и знаменатель этой передаточной функции необходимо [5] умножить на полином . В результате получим

.(29)

Здесь  - вспомогательный множитель,  и k - определяемые ниже параметры, а полином

,(30)

где  - коэффициент при старшей степени  полинома  из уравнения объекта (20).

Будем предполагать, что нули  этого полинома  удовлетворяют условию

, ,(31)

т.е. на комплексной плоскости они располагаются внутри окружности единичного радиуса.

Если нули полинома , найденного для заданного объекта управления, не удовлетворяют условию (31), то имеются две возможности проведения синтеза. Во-первых, можно изменить конструкцию объекта так, чтобы условие (31) оказалось выполненным. Во-вторых, можно выбрать полином  в (24) так, чтобы среди его нулей оказались все те нули полинома , которые не удовлетворяют условию (31). Разумеется, для этого необходимо несколько видоизменить изложенную выше методику выбора . Причем система с соответствующей передаточной функцией  должна иметь требуемые показатели качества процесса управления. Этот случай применительно к синтезу непрерывных устройств управления рассмотрен в работе [9].

При выполнении условия (31) полиномы ,  и

определяются следующим образом.

Из условия равенства знаменателей в (29) вытекает с учетом представления (30) полиномиальное уравнение

.(32)

В общем случае непрерывная часть синтезируемой системы может содержать некоторое число чистых интеграторов. Поэтому полином  можно всегда представить следующим образом

, (33)

где  - число единичных нулей полинома , т.е. число чистых интеграторов в непрерывной части, причем , а  такой полином, что .

С другой стороны, синтезируемая замкнутая система должна иметь порядок астатизма по задающему воздействию, равный . Поэтому в соответствии с уравнением (32), при условии, что , полиномы  и  имеют вид

,, (34)

где , а , - вспомогательные полиномы.

С учетом (34) полиномиальное уравнение (32) переходит в следующее:

 ,  (35)

где полиномы

 ,.  (36)

При решении полиномиальных уравнений типа (35) сначала определяются степени  и  искомых полиномов , . При этом необходимо учесть следующие ограничения (условия физической реализуемости передаточных функций в замкнутой системе с частично заданной структурой [5]):

индекс желаемой передаточной функции замкнутой системы должен быть не меньше индекса заданной части с учетом запаздывания на такт в ЦУУ, т.е.

,(37)

где , ;

- степени полиномов и должны быть не больше степени полинома , т.е.

, ;  (38)

число коэффициентов полиномов ,  должно быть неменьше числа уравнений в алгебраической системе эквивалентной полиномиальному уравнению (35) , т.е.

;(39)

- степень полинома в левой части (35) должна быть равна степе-

ни полинома в его правой части, т.е.

.(40)

Учет всех ограничений (37) - (40) при условиях  и  приводит к следующим соотношениям, которые определяют искомые параметры и степени полиномов:

, ,(41)

,.(42)

При этом , а степень .

Обозначим - степень полинома , т.е. , а также коэффициенты полиномов

, , (43)

, . (44)

С учетом введенных обозначений (36), (43) и (44) систему алгебраических уравнений, эквивалентную полиномиальному уравнению (35), можно записать [5] следующим образом:

. (4

5)

В результате решения системы (45) определяются численные значения коэффициентов  и  полиномов (43), а затем по (34) находятся сами полиномы , .

Из условия равенства числителей в (29) вытекает следующее соотношение

. (46)

Таким образом, приведенные соотношения (22) - (46) позволяют найти полиномы ,  и  и записать уравнение ЦУУ (21) с численными коэффициентами.

Для получения разностного уравнения ЦУУ, описывающего алгоритм вычисления значений управления , необходимо умножить обе части полученного уравнения (21) на , а затем перейти к оригиналам.

Вытекающее из полученного разностного уравнения выражение, определяющее  как функцию предыдущих значений измеряемых переменных задающего воздействия, управления и управляемой переменной, т.е. равенство , , , является искомым алгоритмом работы ЦУУ.

В тех случаях, когда измеряемыми являются g и  или y и  уравнение (21) или соответствующее ему разностное уравнение преобразовываются соответствующим образом.

На этом формальная процедура синтеза САУ с ЦУУ заканчивается. Однако для завершения процесса синтеза необходимо промоделировать полученную систему и убедиться, что полученный алгоритм работы ЦУУ обеспечивает требуемые показатели качества процесса управления. При этом целесообразно объект управления моделировать по его непрерывной модели в переменных состояния, а ЦУУ по его алгоритму функционирования с учетом квантования по уровню и по времени.

Рассмотрим изложенную методику синтеза дискретных САУ на конкретном примере.

Пример 3. Найти алгоритм функционирования ЦУУ, обеспечивающего астатизм первого порядка по задающему воздействию, время регулирования не более 3 с и перерегулирование не более , в системе управления с передаточной функцией непрерывной части

При этом период квантования с, а измеряемыми переменными

являются отклонение  и управляемая переменная y.

Решение. Подставляя заданные  и  в выражение (19) и выполняя z-преобразование (с помощью методики, изложенной в § 14.4), получим

.

Следовательно, в рассматриваемом случае полиномы , , а их степени , . При этом по (22) , а полином ; по (33) , а полином .