Курсовая работа: Статистическое моделирование метрологических характеристик средств электрических измерений и обработка их результатов

Рисунок 3.6 Гистограмма массива данных для Rвх

3.2 Идентификация законов распределения случайных величин

3.2.1 Алгоритм Н.А. Плохинского и Н.Е. Пустыльника

Перед тем как применять дисперсионный анализ к сериям результатов наблюдений, необходимо убедиться в нормальности результативного признака, которая определяется по следующему алгоритму:

определение показателей асимметрии и эксцесса и сопоставление их с критическими значениями, указанными Н.А. Плохинским;

проведение расчета критических значений показателей асимметрии и эксцесса по формулам Е.И. Пустыльника и сопоставление с ними эмпирических значений;

если эмпирические значения показателей окажутся ниже критических, следует вывод о том, что распределение признака не отличается от нормального.

Для расчетов необходимо сначала определить среднее арифметическое значение ряда результатов по формуле:

(3.2)

где x_i - каждое наблюдаемое значение фактора; n - количество наблюдений.

В данном случае Ом

Оценка дисперсии: у = 5,75 Ом

Показатели асимметрии и эксцесса с их ошибками репрезентативности определяются по формулам:

(3.3)

(3.4)

где - значение отклонения от среднего арифметического (центральное отклонение); - оценка дисперсии; n - количество наблюдений.

После вычислений получаем:

А = -0,16

mA = 0,21

E = -1,13

mE = 0,43

Показатели асимметрии и эксцесса свидетельствуют о достоверном отличии эмпирических распределений от нормального в том случае, если значения этих показателей превышают по абсолютной величине свою ошибку репрезентативности в три раза и более:

(3.5)

(3.6)

В данном случае

Поскольку оба показателя не превышают в три раза свою ошибку репрезентативности, распределение данного признака не отличается от нормального.

Теперь проведем проверку по формулам Е.И. Пустыльника. Рассчитаем критические значения для показателей А и Е:

(3.7)

(3.8)

После вычислений:

А_эмп = -0,16, А_эмп < А_кр;

E_эмп = -1,13; E_эмп < E_кр.

Поскольку оба варианта проверки по формулам Н.А. Плохинского и

Е.И. Пустыльника дают один и тот же результат, то распределение результативного признака в данном случае не отличается от нормального распределения.

3.2.2 Алгоритм критерия Пирсона

Исходя из вида кривой распределения , выдвигается гипотеза

подчинения случайной величины закону распределения

Сравнение эмпирического и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия (Пирсона) для нормального закона распределения.

Проверка выполняется по следующему алгоритму.

1) Для полученной выборки входных сопротивлений определяют математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (СКО) выборки. Их значение уже были приведены выше и равны:

Ом

у = 5,75 Ом

2) Для каждого интервала построенной гистограммы определяют середину и подсчитывают число попавших в него наблюдений

3) Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее нормальному распределению. Для этого от реальных середин интервалов переходят к нормированным:

(3.9)

. (3.10)

Если для некоторого интервала , то интервал объединяется с соседним. Расчеты повторяются с п. 2 при L' < L (L' - число интервалов после объединения). Определяют число степеней свободы, равное L' - 3.

Число степеней свободы равно 6.

Полученные значения после объединения интервалов приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7

4) Вычисляют показатель разности частот:

. (3.11)

В данном случае:

= 70,28

6) По таблице находят теоретическое значение критерия Пирсона

= 12,59

7) Сравниваем и . Поскольку , то гипотеза о нормальности отвергается.

3.3 Обнаружение и устранение грубых погрешностей

3.3.1 Проверка гипотезы о промахах по критерию Романовского

При проверке по критерию Романовского вычисляется отношение

( - X_i)/ S_x = в

и сравнивается с критерием в_т. Если в > в_т, то результат Х_i считается промахом и отбрасывается.

S_x = 5,71

в = 1,67

в_т = 2,78

За сомнительный результат принимаем максимальное значение входного сопротивления Х_i = 148,42 Ом. Так как в < в_т, то сомнительный результат не является промахом.

3.3.2 Проверка гипотезы о промахах по критерию Шарлье

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20). Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство

- X_i > К_шS_x. (3.12)

В данном случае табличное значение К_ш = 2,58.

За сомнительный результат примем минимальное и максимальное значения выборки: Х_i1 = 128,17 Ом и Х_i2 = 148,42 Ом. Неравенство после подстановки значений примет следующий вид:

10,89 < 14,74 (для Х_i1)

9,52 < 14,74 (для Х_i2)

Таким образом, Х_i1 и Х_i2 не являются промахами.

3.3.3 Проверка гипотезы о промахах по критерию Диксона

Вариационный критерий Диксона характеризуется малой вероятностью ошибок. При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд. Критерий Диксона определяется как

К_д = (x_n - x_{n - 1})/(x_n - x₁).

Критическая область для этого критерия Р(К_д > Zq) = q. Значения Z_q являются табличными.

К_д = (148,42 - 147,76)/(148,42 - 128,17) = 0,03

К_табл = 0,26

Поскольку К_д < К_табл, промах отсутствует.

3.3.4 Проверка гипотезы о промахах по методу трех сигм

По методу трех сигм сравнивается разность ( - X_i) и утроенное среднее квадратическое отклонение 3S_x.

За сомнительный результат примем минимальное и максимальное значения выборки: Х_i1 = 128,17 Ом и Х_i2 = 148,42 Ом.

3S_x = 3 5,71 = 17,14

По результатам вычислений

10,89 < 14,74 (для Х_i1)

9,52 < 17,14 (для Х_i2)

Отсюда следует, что Х_i1 и Х_i2 не являются промахами.

3.4 Использование методов обнаружения и исключения систематической составляющей погрешности измерения

3.4.1 Дисперсионный анализ (критерий Фишера)

После того как установлено, что результаты в сериях распределены нормально, определяется средняя сумма дисперсий результатов наблюдений, вычисленных раздельно для каждой серии, которая является характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей:

где

x_ij - результат i-го измерения в j-й серии.

Внутрисерийная дисперсия характеризует случайные погрешности измерений, так как только случайные влияния обусловливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на которых основана сама эта дисперсия. В то же время рассеивание различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Поэтому определяется усредненная межсерийная дисперсия:

где

выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.

Критерием оценки наличия систематических погрешностей является дисперсионный критерий Фишера

. (3.15)

Критическая область для критерия Фишера составляет Р(F > F_q) = q. Значения F_q для различных уровней значимости q, числа изменений n и числа серий а приведены в таблице, где

k₂ = n - a, k₁ = a - 1.

Если полученное значение критерия Фишера больше F_q (F > F_q), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов наблюдений по сериям отвергается, т. е. обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.

В данном случае число серий равно пяти (а = 5),по двадцать шесть измерений в серии (m_j = 26).

Результаты вычислений приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Значения внутрисерийной и межсерийной дисперсий равны

у²вс = 107,47

у²мс = 1020,78

Дисперсионный критерий Фишера F равен

Табличное значение Fq(4;125) = 2,37.

Так как F > Fq, то имеется систематическая погрешность.

3.4.2 Метод последовательных разностей (критерий Аббе)

Критерий Аббе применяют для обнаружения изменяющихся во времени монотонных смещений средних арифметических результатов измерений. Методика применения метода последовательных разностей состоит в следующем. Определяются две несмещенные оценки дисперсии средних арифметических для n наблюдений: одна - по обычной формуле:

(3.16)

вторая - путем вычисления суммы квадратов последовательных разностей

в порядке проведения измерений по формуле:

(3.17)

Отношение

является критерием выявления систематических смещений центра группирования результатов измерений и должно быть меньше н_min, при этом критическая область критерия Аббе определяется как Р(н < н_min) = q. Критические значения н_min в зависимости от уровня значимости q и числа n наблюдений приведены в таблице. Если полученное значение критерия Аббе меньше н_min при заданных q и n, то обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.

После вычислений получаем

у = 33,1

Q = 0,0253

н =

н_min = 0,789

Так как н < н_min, то имеется систематическая погрешность.

3.5 Запись результата измерений

При записи результата измерений входного сопротивления предположим, что систематическая составляющая погрешности отсутствует. Тогда за оценку результата измерения следует принять математическое ожидание:

(3.18)

Число степеней свободы н = 130 - 1 = 129.

Коэффициент Стьюдента tст (0,95;129) = 1,96.

Среднее значение выборки: = 138,97 Ом.

СКО S_x = 5,75 Ом.

Д = у tст, (3.19)

Д = 5,751,96 = 11,28 Ом.

РИ: (138,97±11,28) Ом, Pд = 0,95

4. Ответы на контрольные вопросы

1) Средства измерений электрических величин.

Средствами измерений электрических величин являются электроизмерительные приборы, такие как амперметр, вольтметр, омметр, мультиметр и др. В группу электроизмерительных приборов входят также кроме собственно измерительных приборов и другие средства измерений: меры, преобразователи, комплексные установки.

Наиболее существенным признаком для классификации электроизмерительной аппаратуры является измеряемая или воспроизводимая физическая величина, в соответствии с этим приборы подразделяются на ряд видов: