Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А
СОДЕРЖАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Кирсанов М. Н.
Статический расчет составной арочной фермы с произвольным числом панелей
Терзе С. В.
Аналитический расчет зависимости деформаций консольной стойки от числа панелей в системе MAPLE .............................................................................................
Суд И. Б.
Вывод формул для прогиба шпренгельной балочной фермы с произвольным числом панелей в системе MAPLE ...............................................................................
ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА УПРУГИЕ СИСТЕМЫ
Аверин А. Н.
Колебания жесткой нити под действием подвижной нагрузки ............................
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МОСТОВ И ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
Сафронов В. С., Мельхиор Н.
Показатели надежности железобетонных пролетных строений проектируемых автодорожных мостов для современных российских
и европейских нормативных временных нагрузок ............................................
Степанов С. Д., Богомолов А. Г.
Численные исследования некоторых явлений аэродинамической неустойчивости балки жесткости вантового мостового сооружения ....................................................
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Ефрюшин С. В., Юрченко А. И.
Исследование поведения динамически изменяющейся расчетной схемы 4-этажного монолитного железобетонного каркаса при демонтажных работах взрывным способом ........................................................................................................
Ефрюшин С. В., Юрьев В. В.
Математическое моделирование несущей способности железобетонных конструкций при пожаре с применением ПК ANSYS MECHANICAL .....................
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОСНОВАНИЙ И ФУНДАМЕНТОВ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
Гриднев С. Ю., Гарри Н. Э., Острецов В. А.
Оптимизация грунтового основания для расчетного моделирования напряженно-
деформированного состояния здания повышенной этажности .................................
Ким М. С., Гопиенко Е. В.
Взаимное влияние свайного и плитного фундаментов ...............................................
Правила оформления статей ………………………………………………………..
5
7
16
25
33
44
58
69
78
86
99
111
CONTENT
STRUCTURAL MECHANICS
AND STRENGTH OF MATERIALS
М. N. Kirsanov
Static calculation of a composite arch truss with an arbitrary number of panels……….
S. V. Terze
Analytical calculation of the dependence of cantilever rack deformations on the number of panels in the maple system...............................................................................
I. B. Sud
Derivation of formulas for deflection of the girder truss with an arbitrary number of panels in the MAPLE system.............................................................................................
MOBILE LOAD DYNAMIC EFFECT ON ELASTIC SYSTEMS
А. N. Аverin
Rigid string vibrations under moving load………………………............................
7
16
25
33
CALCULATION AND DESIGN OF BRIDGES AND TRANSPORT STRUCTURES
V.S. Safronov, N. Mel'khior |
|
Reliability indicators for reinforced concrete span structures of designed road bridges |
|
for modern russian and european normative time loads.................................................... |
44 |
S. D. Stepanov, А. G. Bogomolov |
|
Numerical research of some phenomena of stiffening girder aerodynamic instability of |
|
a cable-stayed bridge structure.......................................................................................... |
58 |
CALCULATION AND DESIGN OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES |
|
S. V. Efryushin, A. I. Yurchenko |
|
A research of the behavior of dynamically changing calculation diagram of the 4- |
|
storey monolithic reinforced concrete frame during demolition....................................... |
69 |
S. V. Efryushin, V. V. Yuriev |
|
Mathematical modeling of reinforced concrete structures bearing capacity in case of |
|
fire using ansys mechanical ………………………………………………...................... |
78 |
CALCULATION AND DESIGN OF BASES AND FOUNDATIONS |
|
OF BUILDINGS AND STRUCTURES |
|
S. Yu. Gridnev, N. E. Garry, V. A. Ostretsov |
|
Soil foundation optimization for deflected mode calculation of a high storey building... |
86 |
M. S. Kim, E.V. Gopienko |
|
Interference of pile and panel-wall foundations……………............................................. |
99 |
Requirements for articles to be published......……………………………………….. |
111 |
6 |
|
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
УДК 624.04
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СОСТАВНОЙ АРОЧНОЙ ФЕРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПАНЕЛЕЙ
М. Н. Кирсанов1 Национальный исследовательский университет "МЭИ"1
Россия, г. Москва
1Д-р физ.-мат. наук, проф., тел.: +7(495)362-73-14; e-мail: c216@ya.ru
Дается вывод формул для прогиба плоской статически определимой фермы. Алгоритм вывода формул зависимости прогиба конструкции от размеров фермы и числа панелей основан на методе индукции. Расчет усилий в стержнях и реакции опор выполнен в системе символьной математики Мaple. Для вычисления прогиба используется интеграл Мора. Расчет ферм с различным числом панелей дает последовательности коэффициентов в формуле для прогиба. Общий член этих последовательностей выявляется с применением специализированных операторов системы Мaple. Получены асимптотики решения по двум независимым параметрам, задающим пропорции конструкции. Графики построенных решений обнаруживают некоторые особенности конструкции.
Ключевые слова: ферма, индукция, Мaple, арка, прогиб.
Введение
Метод конечных элементов в различных вариантах [1-6] для расчета строительных конструкций является одним из основных, но не единственным, в инженерной практике. Еще один метод — аналитический. Несмотря на ограниченность возможностей аналитических решений они являются достаточно важными элементами как в практических расчетах, выполняя функции контроля и предварительной оценки, так и в теоретическом анализе предлагаемых схем. Ценность аналитических решений определяется как удобством их применения, так и возможностью использования для расчета конструкций широкого класса. Так, аналитические решения, представленные в рядах с непременной необходимостью оценки остаточного члена, или в виде программ, которые требуют использования компьютера для доведения до конечного ответа [7-10], не так ценны как простые формулы. В расчете ферм известны формула Качурина [11] с условной (приближенной) оценкой влияния схемы решетки на результат и решения для регулярных ферм Игнатьева В.А. [12,13]. Наиболее распространенным методом для получения формул зависимости прогиба от параметров регулярной (периодической) конструкции, в число которых входит и параметр регулярности схемы — число панелей, является метод индукции [14,15]. Этим методом, существенно использующим операторы символьной математики, получен ряд формул для плоских [16-21] и пространственных ферм [22, 23].
Схема фермы. Постановка задачи
Плоская с горизонтальным ригелем арочная ферма составного
(m+k+1)h и пролет L 2a(k n 1) (рис. 1). Число стержней в ферме |
nR |
типа
8(n
имеет высоту
k m) 2 |
. В |
это число входят и четыре стержня, заменяющие в расчете шарнирные опоры неподвижного
типа. |
Общая |
длина |
всех |
стержней |
конструкции |
равна |
|||
|
|
|
|
|
|||||
2(k m 2n 1)a 2(m 2k n 1)c 2(k n 2m 1)h, |
где |
c = a2 h2 . Конструкция |
|||||||
фермы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
____________________
© Кирсанов М. Н., 2020
имеет регулярную схему с тремя независимыми параметрами m, n, k, определяющими пропорции фермы. Фермы такого типа широко используются в составе пространственных конструкций промышленных зданий и сооружений. Однако для прогиба такой конструкции, несмотря на ее простоту, нет формулы, учитывающей не только размеры, упругие свойства материала и нагрузку, но и число панелей в ее частях. В настоящей работе ставится задача о нахождении аналитической зависимости прогиба арки в центральной ее части от числа панелей. Предполагая все соединения стержней шарнирными, получаем статически определимую модель, усилия в стержнях которой вместе с реакциями опор находим из уравнений равновесия узлов.
Рис. 1. Ферма, n = 5, k = 2, m = 5
Расчет усилий
Матрица косинусов усилий,
G |
системы уравнений равновесия узлов состоит из направляющих |
которые вычисляются по данным координат узлов в концах стержней
l |
x |
N |
|
x |
N |
, l |
y |
N |
|
y |
N |
, |
i 1,..., n |
1,i |
|
2,i |
|
2,i |
|
2,i |
|
|
R |
||||
|
|
|
|
1,i |
|
|
|
|
1,i |
|
|
, li 
l1,i2 l2,i2 . Здесь первый индекс i в номeрe
Ni, j соответствует номеру стержня, второй при j = 1 имеет номер шарнира в начале стержня,
а при j = 2 номер его конца. Выбор начала и конца стержня условный и никак не влияет ни на знак усилия, ни на его значение. Направляющие косинусы в G имеют вид:
G |
l |
j,i |
/ l |
, q 2N |
i,2 |
2 j, |
j 1, 2, |
i 1,..., n |
, q n |
R |
, |
|||||
q,i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
R |
|
|
|||||
G |
l |
j,i |
/ l |
, |
q 2N |
i,1 |
2 j, |
j 1, 2, |
i 1,..., n . |
|
|
|
||||
q,i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||||
Из решения системы линейных уравнений
G S B , где
S
вектор усилий в стержнях,
B
— вектор нагрузок, находятся усилия в стержнях фермы и реакции опор. В нечетные
строки B2i 1 должны быть записаны горизонтальные узловые нагрузки, приложенные к узлу i (в данной задаче таких нет), в четные B2i записаны вертикальные нагрузки. Методом
обратной матрицы S G 1B находится решение. Прогиб фермы (вертикальное смещение сочленяющего узла C) находится с помощью интеграла Мора:
В формуле приняты обозначения: S j
nR 4
j 1
–
S |
s l |
j |
j |
j |
|
EF |
. |
|
|
||
усилия в стержнях фермы от действия
внешней нагрузки, |
s j – усилия от единичной силы, приложенной к сочленяющему |
8
шарниру,
l j
– длина стержня j. Площади сечений стержней приняты одинаковыми. Модуль
Юнга для всех стержней конструкции равен E.
Сосредоточенная нагрузка в середине пролета (рис. 2). Рассмотрим случай m=n.
Анализируя решения для ферм с последовательно увеличивающимся числом панелей, получаем, что общий вид формулы зависимости прогиба от параметров конструкции имеет вид:
P(C a |
3 |
|
|
1 |
|
C c |
3 |
|
|
2 |
|
C3h3 ) /
2 |
EF) |
(h |
.
(1)
Рис. 2. Ферма под действием сосредоточенной нагрузки, n=m=k=2 |
|
|
При этом образуются последовательности коэффициентов. При k=1 для C1 |
: 0, 3, 10, 23, 44, |
|
75, 118, 175, для C2 : |
3/2, 5, 23/2, 21, 67/2, 49, 135/2, 89... Коэффициенты C1 C3 не |
|
зависят от числа панелей k, для них методами системы Maple выявляются общие члены:
C1 C3 (n 1)(n2 n 3) / 3 .
Коэффициент C2 зависит от k. Для различных значений k имеем:
k 1: |
C |
1 3n |
2 |
/ 2 n, |
||||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k 2 : |
C |
3 / 2 |
5n |
2 |
/ 2 2n, |
|||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k 3 : |
C |
2 7n |
2 |
/ 2 |
3n, |
|||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщение этих формул по k очевидно: |
|
|
|
|
|
|||
C2 (n |
2 |
(2k 1) 2nk k 1) / 2 . |
||||||
|
||||||||
(2)
(3)
Таким образом, формула (1) с коэффициентами (2) и (3) дает решение поставленной задачи в случае сосредоточенной нагрузки. Использован метод двойной индукции. Для проверки можно провести такой же анализ в другом порядке — сначала по k, затем по n. Выпишем также и формулы для усилий в стержнях верхнего и нижнего пояса панели в середине пролета и стойке нижней боковой панели фермы, полученные одновременно с выводом формулы для прогиба:
O 0, U Pc / (2h), V
Реакции опор арки:
X A Pa / (2h), YA YB
P
P /
/ 2
2 .
,
9