Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А
Заметим, что эти формулы при m = n не зависят от числа панелей и достаточно просто получаются и без применения системы компьютерной математики. Графические средства Maple позволяют также получить картину распределения усилий в стержнях фермы (рис. 3). Толщина отрезков стержней пропорциональна усилиям, синим цветом отмечены сжатые стержни, красным — растянутые. Усилие отнесено к силе P и округлено до десятых. Несколько неожиданными оказались нулевые усилия в середине верхнего пояса ригеля, а также растянутый верхний и сжатый нижний пояс арки. Наибольшие сжимающие усилия - 4P наблюдаются на внутренних участках скосов арки.
Рис. 3. Распределение усилий в стержнях фермы. Сосредоточенная нагрузка, n=m=3, k=2, a=5м, h=2 м
Равномерно распределенная нагрузка. Примененный алгоритм вывода формулы для прогиба легко перестраивается на произвольную нагрузку. Рассмотрим случай нагрузки, равномерно распределенной по узлам верхнего пояса (рис. 4). Двойная индукция по аналогии с предыдущим решением дает следующие коэффициенты формулы (1):
Рис. 4. Ферма под действием распределенной нагрузки, n=m=4, k = 3
10
C (n 1)(3n3 4n2 |
(10 3k)n 12) /12, |
|
1 |
|
|
C |
(6(1 2k)n3 6k(k 1)n2 (k 1)(2k 2 13k 6)n (k 1)(k 2 8k 6)) /12, (4) |
|
2 |
|
|
C |
(4n4 (4k 1)n3 |
(5 9k)n2 (8 k)n 24) /12. |
3 |
|
|
Единственным отличием этого решения являются более сложные аналитические преобразования в системе Maple, приводящие к рекуррентным уравнениям большего порядка. Формулы для усилий в выбранных стержнях в этом случае включают числа регулярности n и k:
O Pa(n k) / (2h), U Pc / (2h), V P(n k 1) / 2.
Реакции опор:
X A Pa(n k 1) / (2h), YA YB P(2n 2k 3) / 2.
Распределение усилий при равномерной нагрузке (рис. 5) схоже с аналогичным при сосредоточенной нагрузке лишь в некоторых стержнях. Верхний же и нижний пояс составного ригеля сжаты, что объясняется в первую очередь действием распора. Сжаты также и внутренняя и внешняя стороны стоек в нижней панели. Значительных величин достигают и усилия в стержнях решетки стоек.
Рис. 5. Распределение усилий в стержнях фермы. Распределенная нагрузка, n=m=3, k=2, a=5м, h=2м
Анализ полученных результатов. Некоторые особенности полученного решения можно проследить на графиках, построенных по формуле (1). Рассмотрим, например, арку
постоянного |
пролета |
L 2a(n k 1) |
с постоянной, не зависящей |
от числа панелей |
нагрузкой P0 |
(2n 2k 1)P при фиксированной сумме числа панелей |
в ригеле и боковых |
||
скосах, например, k + n = 15. Построим графики решения (1) для относительного прогиба' EF / (P0L) с коэффициентами (4), найденными для нагрузки по верхнему поясу при L 70 м и различных значениях высоты h (рис. 5). В такой постановке получается, что арки
11
с большими скосами (число k велико) и малыми длинами горизонтальных участков (n мало) под действием равномерной нагрузки прогибаются не вниз, а вверх. Это начальный участок кривых (рис. 6). Другая особенность графика решения — непропорциональная зависимость прогиба от высоты. Порядок кривых при h = 1 м и h = 2 м соответствует логике задачи — арка с малой толщиной h прогибается больше. Однако при h = 6 м кривая прогиба неожиданно оказывается выше соответствующей кривой при h = 2 м. Такая нелинейность характерна для распорных конструкций и отчасти объясняется полиномиальными зависимостями (4).
Рис. 6. Зависимость относительного прогиба от числа панелей n для распределенной по верхнему поясу нагрузки
На рис. 7 показана зависимость этого же решения от числа k при фиксированном n. Как и в предыдущем графике, чрезмерное увеличение k приводит к отрицательным прогибам. В зависимости от k меняется и порядок кривых при различных h. Интересны и точки пересечения кривых, означающие, что для разных h при некотором k прогиб может быть одинаковым. Отметим также, что независимо от высоты h прогиб обращается в ноль при одном и том же значении k.
Рис. 7. Зависимость относительного прогиба от числа панелей k
12
для распределенной по верхнему поясу нагрузки, n=4
Аналитическая форма решения как по числу n, так и по числу k:
lim '/ n |
3 |
h / (6L) |
|
||
n |
|
|
средствами Maple
, lim '/ k |
2 |
h(2n |
|
||
k |
|
|
позволяет
1) / (24L)
найти его асимптотику
.
Заключение
Получено аналитическое решение задачи о прогибе составной арочной фермы с произвольным числом панелей. Зависимости имеют вид полиномов степени не выше четвертой.
Графики этих зависимостей обнаружили некоторые особенности, обычно ускользающие от исследователей, применяющих только численные методы. Полученные формулы могут быть использованы в решении задач оптимизации конструкций, а использованный метод двойной индукции — для вывода аналогичных зависимостей для других стержневых конструкций. Введением поправочных коэффициентов в (1) решение легко обобщается на случай различных жесткостей стержней различных длин.
Библиографический список
1.Резунов А.В., Лютоева Ю.Н. Анализ напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты при различных способах опирания краев и произвольном загружении // Строительная механика и конструкции. 2019. № 2(21). С. 20-31.
2.Козлов А.В. Классификация конструкций объединения железобетонной плиты со стальными балками. 2019. № 2(21) С. 50-63.
3.Игнатьев А.В., Габова В.В. Алгоритм статического расчета плоских стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Естественные науки. 2007. № 6. С. 72-77.
4.Игнатьев А. В., Игнатьев В. А., Онищенко Е. В. Решение геометрически нелинейных задач статики шарнирно-стержневых систем на основе метода конечных элементов в форме классического смешанного метода // Вестник МГСУ. 2016. №. 2. С. 20-33.
5.Игнатьев А.В. Основные формулировки метода конечных элементов в задачах строительной механики. Часть 1 // Вестник МГСУ. 2014. № 11. С. 37-57.
6.Ignatyev A.V., Ignatyev V.A., Onischenko E.V. Analysis of systems with unilateral constraints through the finite element method in the form of a classical mixed method // В сборнике: Procedia Engineering. 2016. С. 1754-1759.
7.Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Comparison of two analytical approaches to the analysis of grillages // В сборнике: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015. С. 382-385.
8.Goloskokov D.P., Matrosov A.V. A superposition method in the analysis of an isotropic rectangle // Applied Mathematical Sciences. 2016. Т. 10. № 54. С. 2647-2660.
9.Рыбаков Л. С. Линейная теория плоского призматического каркаса // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2001. – №. 106-118.
10.Рыбаков Л. С. Линейная теория плоской ортогональной решетки // Известия РАН. Механика твердого тела. – 1999. – №. 4. – С. 174-189 .
11.Качурин В. К. Теория вантовых систем. Статический расчет. – Ленинград–Москва : Строиздат, 1962. – 224 с.
12.Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета. – Волгоград: ВолгГАСУ, 2006.
13.Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем – Саратов: Саратовское высшее военно-химическое военное училище, 1973.
13
14.Кирсанов М.Н. Индуктивный анализ влияния погрешности монтажа на жесткость и прочность плоской фермы // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 5 (31). С. 38-42.
15.Kirsanov M. An inductive method of calculation of the deflection of the truss regular type // Architecture and Engineering. 2016. Т. 1. № 3. С. 14-17.
16.Tinkov D. V. Comparative analysis of analytical solutions to the problem of deflection of truss structures // Magazine of civil Engineering. 2015. № 5(57). Pp. 66-73. doi: 10.5862/MCE.57.6
17.Тиньков Д.В. Оптимальная геометрия плоской балочной раскосной фермы с учетом линейной ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. 2016. №1(61). С.
25–32) doi: 10.5862/MCE.61.3
18.Тиньков Д.В. Формулы для расчёта прогиба вспарушенной балочной раскосной фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2016. Т. 2. № 13 (13). С.
10-14.
19.Осадченко Н.В. Аналитические решения задач о прогибе плоских ферм арочного типа // Строительная механика и конструкции. 2018. Т.1. №16. С.12-33.
20.Воробьев О. В. О методах получения аналитического решения для проблемы собственных частот шарнирных конструкций // Строительная механика и конструкции. 2020. Т. 1. №. 24. С. 25-38.
21.Белянкин Н.А., Бойко А.Ю. Формулы для прогиба балочной фермы с произвольным числом панелей при равномерном загружении // Строительная механика и конструкции. 2019. Т.1. № 20. С. 21-29.
22.Кирсанов М.Н. Аналитическое исследование жесткости пространственной статически определимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. № 2 (101). С. 165-171.
23.Ларичев С.А. Индуктивный анализ влияния строительного подъема на жесткость
пространственной балочной фермы // Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. М: Инфра-М. 2015. Т. 1. С. 4-8.
Reference
1.Rezunov A.V., Lutoeva Yu.N. Analysis of the stress-strain state of a rectangular plate with various methods of supporting the edges and arbitrary loading. Construction Mechanics and Structures. 2019.No 2 (21). Pp. 20-31.
2.Kozlov A.V. Classification of structures for combining reinforced concrete slabs with steel beams. 2019.No 2 (21). Pp. 50-63.
3.Ignatiev A.V., Gabova V.V. The algorithm for static calculation of flat rod systems by the finite element method in mixed form. Bulletin of the Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Natural Sciences. 2007. No. 6. Pp. 72-77.
4.Ignatiev A.V., Ignatiev V.A., Onishchenko E.V. Solution of geometrically non-linear problems of the statics of hinged-rod systems based on the finite element method in the form of the classical mixed method . Vestnik MGSU. 2016. No. 2, p. 20-33.
5.Ignatiev A.V. The main formulations of the finite element method in the problems of structural mechanics. Part 1. Vestnik MGSU. 2014. No. 11. S. 37-57.
6.Ignatyev A.V., Ignatyev V.A., Onischenko E.V. Analysis of systems with unilateral con-straints through the finite element method in the form of a classical mixed method. In the collection: Procedia Engineering. 2016.Pp. 1754-1759.
7.Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Comparison of two analytical approaches to the analysis of grillages. Collected: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP) 2015.S. 382-385.
8.Goloskokov D.P., Matrosov A.V. A superposition method in the analysis of an isotropic rec-tangle. Applied Mathematical Sciences. 2016.V. 10. No. 54. Pp. 2647-2660.
9.Rybakov L.S. Linear theory of a flat prismatic skeleton. Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Solid mechanics. 2001. No. 106-118.
10.Rybakov L.S. Linear theory of a plane orthogonal lattice. Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Solid mechanics. 1999. No. 4. Pp. 174-189.
14