Материал: Структура и кинематика манипуляторов (90

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Приложение

Некоторые элементы теории матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица элементов математической структуры. Матрица состоит из m строк и n столбцов.

Первый индекс – m строки. Второй индекс – n столбца.

Прямоугольные матрицы обозначаются

Если m = 1, т.е. одна строка, то «матрица–строка»

C = c1 c2 ... cn .

Если в прямоугольной матрице m=n, т.е. число строк равно числу столбцов, то квадратная матрица соответствующего порядка

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Суммой двух матриц А и В одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц

где c11 = a11 + b11 ; c12 = a12 + b12;

... ... ...;

cmn = amn + bmn .

Перемножить можно только такие матрицы, у которых число столбцов в первой матрице – n совпадает с числом строк – m во второй матрице, т.е. m=n (квадратные матрицы)

где каждый элемент матрицы D = A × B определяется по правилу умножения строки на столбец

d11 = (a11b11 + a12b21 + ... + a1nbm1 ),

d12 = (a11b12 + a12b22 + ... + a1nbm2 ),

d1n = (a11b1n + a12b2n + ... + a1nbmn ),

d21 = (a21b11 + a22b21 + ... + a2nbm ),

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

т.е., чтобы найти элемент строки К и столбца l матрицы D, надо найти сумму произведений элементов К матрицы А на элементы столбца l матрицы В.

Произведение матриц не подчиняется переместительному закону, т.е.

A ´ B ¹ B ´ A ,

но ассоциативный и дистрибутивный законы сохраняются. A × B × C = (A × B) × C = A × (B × C) - ассоциативный,

A(B + C) = AB + AC - дистрибутивный.

Квадратные матрицы можно умножать на столбцевые матрицы того же порядка. В результате получаются столбцевые матрицы.

Транспонирование. Матрица А’, транспонированная к матрице А, образуется из матрицы А путем замены каждой ее строки на столбец того же номера

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Транспонируя матрицу А, получим транспонированную матрицу А’

Матрицы перехода.

При нахождении координат любой точки любого подвижного звена, относительно неподвижной системы координат (связанной со стойкой), пользуются методом преобразования координат с использованием матриц.

Например, точка К в подвижной системе координат O1X1y1Z1 имеет

координаты X1Ky1KZ1K (рисунок П.1) или в матричной форме радиус-вектор точки К в подвижной системе

x1K r1K = y1K .

z1K

Рисунок П.1

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Координаты точки К в неподвижной системе координат OX0y0Z0 определяются соотношением

системе О.

Направляющие косинусы осей можно записать в виде матрицы перехода от подвижной системы координат О1 к неподвижной – О.

Транспонируя матрицу М01 получим матрицу перехода от неподвижной системы координат О к подвижной О1.

3