Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

где и – ударные импульсы внешних и внутренних сил. Импульсами неударных сил за время удара пренебрегаем. Суммируя по всем точкам системы, имеем

.

Обозначая количества движения системы после и до удара соответственно

и

и учитывая, что по свойству внутренних сил, в том числе и ударных, , имеем

. (105)

Соотношение (105) выражает теорему об изменении количества движения системы при ударе: изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы. В проекциях на координатные оси получаем:

, ,

. (105')

Применяя формулу для вычисления количества движения системы через массу системы и скорость центра масс, имеем

и ,

где – масса системы; и – скорости центра масс до и после удара. С учетом этого из (105) получаем теорему о движении центра масс системы:

. (106)

В проекциях на координатные оси она примет форму

, ,

. (106')

Частные случаи.

1. Если , то из (4) и (5) следует

, , (107)

т.е. количество движения системы и скорость центра масс не изменяются, если векторная сумма внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, равна нулю. Это законы сохранения количества движения и движения центра масс системы при ударе.

2. Если имеется координатная ось, например , для которой , то из (105') и (106') получаем следующие законы сохранения проекции количества движения и движения центра масс:

, . (107')

Из (104) можно получить теорему Кельвина для работы ударной силы за время удара. Непосредственно вычислить работу ударной силы за время удара трудно, так как ударные силы очень большие, а перемещения точек системы за время удара малы и ими пренебрегают. Теорема Кельвина позволяет выразить работу силы через импульс силы и среднее значение скоростей точки, т.е. величины конечные при ударе. Умножив (104) скалярно последовательно на и , получим

,

После сложения этих равенств и деления на 2 имеем

.

По теореме об изменении кинетической энергии для точки левая часть этого равенства равна работе , приложенной к точке силы . Поэтому

. (108)

Это и есть теорема Кельвина: работа силы, приложенной к точке, за какой-либо промежуток времени равна скалярному произведению импульса силы за тот же промежуток времени на полусумму начальной и конечной скоростей точки.

Теорема Кельвина применима ко всем случаям движения точки, в том числе и к явлению удара.

Для механической системы теорема Кельвина получается из (108) путем суммирования по всем точкам системы, т.е.

, (109)

где – импульс внешней и внутренней сил, действующих на -ю точку.

2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе

Пусть материальная точка под действием ударного импульса испытывает удар. По теореме об изменении количества движения для точки имеем

,

где и – скорости точки до и после удара. Умножим это векторное равенство слева векторно на радиус-вектор точки , который один и тот же непосредственно перед ударом и после него. Получаем

. (110)

Это соотношение выражает теорему об изменении кинетического момента для точки при ударе. Применяя ее для каждой из точек системы, имеем

,

, (110')

где и – внешний и внутренний ударные импульсы, действующие на -ю точку системы. Суммируя (110') по всем точкам системы и вводя обозначения кинетических моментов системы до и после удара и векторной суммы моментов внешних ударных импульсов относительно точки , получим следующую теорему об изменении кинетического момента системы при ударе:

, (111)

так как

, ,

,

по свойству внутренних сил. Таким образом, изменение кинетического момента системы относительно точки за время удара равно векторной сумме моментов относительно той же точки внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы. В проекциях на оси координат векторное равенство (111) принимает следующую форму:

, ,

. (111')

Если удар испытывает твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси , и и – угловые скорости до и после удара, то, учитывая, что

,

где – момент инерции тела относительно оси вращения, из (111) получаем следующее изменение угловой скорости тела:

или . (112)

В (112) не входят моменты ударных импульсов реакций закрепленных точек оси вращения, так как они пересекают ось вращения, если не возникают ударные импульсы сил трения в местах закрепления оси.

Частные случаи.

1. Если , то из (111) следует закон сохранения кинетического момента системы относительно точки при ударе:

. (113)

2. Если имеется ось, например , относительно которой , то из (111') получаем закон сохранения кинетического момента системы относительно оси при ударе:

. (113')

2.4. Удар точки о неподвижную поверхность

2.4.1. Прямой удар

У дар называют прямым, если скорость точки перед ударом направлена по нормали к поверхности в точке удара (рис. 20). После удара материальная точка отделится от поверхности, имея в общем случае скорость , направленную тоже по нормали к поверхности.

Д

Рис. 20

. (114)

Если , то удар называется абсолютно упругим. В этом случае и при ударе точки изменяется только направление скорости на противоположное. При удар считается абсолютно неупругим. Скорость точки при таком ударе о неподвижную поверхность после удара . В более общем случае абсолютно неупругого удара точки по движущейся поверхности точка после удара движется вместе с соответствующей точкой поверхности. В случаях, при которых , удар называют просто упругим или частично упругим.