Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Для доказательства второй части теоремы учтем, что при движении консервативной системы и выполнении других условий теоремы и о связях справедлив закон сохранения полной механической энергии

,

где и – значения кинетической и потенциальной энергии в начальный момент. Они зависят от начальных значений и , т.е. , .

Кинетическая энергия системы может быть только положительной. Поэтому из закона сохранения механической энергии получаем следующее неравенство для потенциальной энергии:

.

Это неравенство позволяет установить соответствующие положительные числа и . Неравенство допускает бесчисленное количество значений для и , удовлетворяющих ему. Действительно, неравенства и обеспечивают выполнение рассматриваемого неравенства для потенциальной энергии. Из неравенства получаем , а из двух неравенств , , следует . Подставляя значения и в основное неравенство, получим следующее условие для потенциальной энергии:

.

Что в соответствии с выбором числовой величины обеспечивает для обобщенной координаты выполнение условия .

Доказано, что для любого достаточно малого числа существует положительные числа и , и если и , то , т.е. положение равновесия устойчиво.

Для системы с двумя степенями свободы доказательство второй части теоремы почти не изменяется, за исключением того что и , но это не вносит существенных изменений в последующие рассуждения. Некоторые особенности возникают при выборе величины .

Для системы с двумя степенями свободы . В положении равновесия системы принимаем . Следовательно, .

Потенциальная энергия в малой окрестности изолированного минимума положительная, и ей зависимость от обобщенных координат имеет форму поверхности, изображенной на рис. 3,а.

Выберем и рассмотрим значение значения потенциальной энергии , и , где – любое, удовлетворяющее условию . Зависимость , является уравнением линии пересечения плоскостей (плоскость 1) с поверхностью . Аналогично есть линия пересечения плоскости с той же поверхностью. Из множества значений и (рис. 3,б) при изменении в интервале выбираем наименьшее . Затем рассматриваем и . Опять получим в плоскостях и по кривой, аналогичной изображенной на рис. 3,б. Из множества этих значений потенциальной энергии выбираем наименьшее . Из двух положительных величин и наименьшее принимаем за .

а) б)

Рис. 3

Из способа выбора значения следует, что если в какой-то момент движения системы , то обобщенные координаты удовлетворяют условиям и .

Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа–Дирихле для системы с степенями свободы и, следовательно, с обобщенными координатами.

Примем в положении равновесия все и . Тогда . Выберем достаточно малое положительное число , такое, чтобы в -окрестности не содержалось других экстремумов функции . Дадим обобщенной координате значения и , т.е. , а другие обобщенные координаты при этом удовлетворяют условию . Из всех значений потенциальной энергии в этом случае выбираем наименьшее . Затем даем значение , а другие при изменении удовлетворяют условию . Наименьшее значение потенциальной энергии при этих условиях обозначим . Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, получим последовательность положительных чисел , наименьшее из которых принимаем за .

Пока при движении системы , выполняется условие для всех обобщенных координат.

Пусть системе сообщили соответствующие начальные обобщенные координаты и скорости и она движется. При движении консервативной системы, удовлетворяющей связям, указанным в условии теоремы, справедлив закон сохранения механической энергии

,

где , , т.е. те величины, зависящие от начальных значений обобщенных координат и скоростей. Так как при движении системы , то из закона сохранения энергии следует

.

Это неравенство выполняется, если справедливы, например, два неравенства: и . Из условий получим ряд значений , удовлетворяющих условию , а из условия и неравенства – ряд значений , удовлетворяющих условию . Для потенциальной энергии после этого имеем

.

Следовательно, в соответствии с выбором все обобщенные координаты удовлетворяют условию .

Итак, существуют такие положительные числа и , определяющие область начальных значений и , для , т.е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа–Дирихле полностью доказана.

В некоторых случаях установить неустойчивость равновесия можно на основании теорем Ляпунова.

Приводим эти теоремы без доказательства.

1. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат.

2. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат

1.2. Колебания системы с одной степенью свободы

Механическая система с одной степенью свободы имеет одну обобщенную координату , и её движение описывается одним уравнением Лагранжа

. (1)

Обобщенную силу можно считать состоящей из трех частей: . Здесь – обобщенная сила потенциальных сил. Она выражается через потенциальную энергию по формуле . Потенциальная энергия в общем случае зависит от координат точек системы и, следовательно, от обобщенной координаты и не зависит от обобщенной скорости . Для нестационарного силового поля, а также нестационарных связей потенциальная энергия может зависеть явно еще и от времени.

В включим ту часть обобщенной силы, которая, получается, от действия сил сопротивления, зависящих как от числовых значений, так и направлений скоростей точек системы. В дальнейшем рассматривается случай линейного сопротивления, когда силы сопротивления тоек системы пропорциональны скоростям этих точек и направлены в стороны, противоположные скоростям.

Часть обобщенной силы получается от так называемых вынуждающих, или возмущающих, сил зависящих прежде всего от времени. Ниже рассмотрен случай гармонической возмущающей силы, когда изменяется с течением времени по синусоидальному закону. В общем случае зависимости от времени ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать дифференциальные уравнения движения для каждого из синусоидальных слагаемых.

1.2.1. Собственные линейные колебания системы

Рассмотрим малые колебания системы с одной степенью свободы под действием одних потенциальных сил, т.е. когда . Считаем, что сил сопротивления и возмущающих сил нет. Такие колебания называются собственными или свободными. Колебания считаются малыми, если при движении системы обобщенные координата, скорость и ускорение достаточно малы и в уравнении Лагранжа (1) можно пренебречь всеми слагаемыми второго и более высокого порядков относительно и , т.е. слагаемые в которые входят квадраты этих величин, произведения и т.д. В случае малых колебаний системы получается линейное дифференциальное уравнение для обобщенной координаты . Колебания, для которых дифференциальное уравнение является линейным называются линейными. Малые колебания принадлежат к числу линейных. Но линейными могут быть не обязательно малые колебания.