Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Процесс удара точки о неподвижную поверхность можно разделить на фазу деформации и фазу восстановления. Фаза деформации продолжительностью отсчитывается от момента начала удара до момента наибольшей деформации тела, которое принимается за материальную точку. В конце этой фазы скорость точки при ударе о неподвижную поверхность равна нулю. В течение фазы восстановления материальная точка от момента наибольшей деформации до ее отделения от поверхности частично восстанавливает свою первоначальную форму при упругом ударе. При абсолютно упругом ударе форма тела восстанавливается полностью. В случае абсолютно неупругого удара форма тела совсем не восстанавливается, удар имеет только одну фазу деформации. Общее время удара . При абсолютно неупругом ударе и .

На точку при ее прямом ударе о неподвижную поверхность со стороны поверхности действует ударная сила реакции поверхности . Она изменяется по величине в течение удара, но все время направлена по нормали к поверхности.

Применим к первой и второй фазам удара точки теорему об изменении количества движения в проекции на направление внешней нормали к поверхности, за которое принимаем направление, противоположное скорости точки до удара. Для первой фазы имеем

,

где – ударный импульс силы реакции поверхности за первую фазу удара. Для второй фазы соответственно

,

где – ударный импульс силы реакции поверхности за вторую фазу удара. Действием импульсов неударных сил за время удара, например силы тяжести, пренебрегаем. Итак, имеем

, .

Отсюда

. (115)

Формула (115) дает выражение коэффициента восстановления через ударные импульсы: коэффициент восстановления при прямом ударе точки о неподвижную поверхность равен отношению числовых значений ударных импульсов за вторую и первую фазы удара. Выражение коэффициента восстановления через ударные импульсы, полученное при ударе точки о неподвижную поверхность, считают справедливым и в случае прямого удара точки по движущейся поверхности.

Полный ударный импульс складывается из импульсов и , т.е.

.

При ; при . Ударный импульс при абсолютно неупругом ударе в два раза меньше ударного импульса при абсолютно упругом ударе.

2.4.2. Косой удар

У

Рис. 21

дар называется непрямым или косым, если скорость точки перед ударом направлена под углом к нормали поверхности. При имеем прямой удар. Угол (рис. 21) называют углом падения. В общем случае скорость точки после удара составит с нормалью к поверхности угол , который называют углом отражения.

Разложим скорости до и после удара на нормальные и касательные составляющие:

, .

Коэффициентом восстановления при косом ударе называют величину .

Применение теоремы об изменении количества движения в проекции на нормаль к поверхности приводит к выражению коэффициента восстановления через ударные импульсы

,

где и – проекции ударных импульсов на нормаль к поверхности за вторую и первую фазы удара.

В случае не идеально гладкой поверхности . В дальнейшем принимаем, что поверхность не обладает ударным трением и поэтому . В этом случае

, , .

Эта формула выражает зависимость между углом падения и углом отражения при различных коэффициентах восстановления и отсутствии ударного трения.

2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления

Коэффициент восстановления можно определить экспериментально, измеряя высоту, на которую поднимется тело, обычно в форме небольшого шара, после прямого удара о поверхность (рис. 22) при падении с заданной высоты. Если шарик падает на неподвижную поверхность с высоты , то его скорость непосредственно перед ударом . Сразу после удара скорость шарика через высоту подъема его над поверхностью выражается зависимостью . Для коэффициента восстановления имеем

.

Измеряя при заданном , получают значения коэффициентов восстановления для различных материалов шарика и поверхности.

М

Рис. 22

ногочисленные опыты показали, что коэффициент восстановления зависит не только от материала соударяющихся тел, но и от их масс, формы тел, скоростей соударения и других факторов. Использование коэффициента восстановления в расчетах (в предположении, что он зависит только от материала соударяющихся тел) допустимо лишь в очень грубом приближении к действительности. В более точных расчетах следует учитывать не только деформации, возникающие при ударе, но в некоторых случаях и процесс их возникновения и восстановления. Учет деформаций при ударе производится в задачах теории упругости. Методы теории упругости позволяют более глубоко проникать в явления удара. В теоретической механике обычно рассматриваются предельные случаи абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

2.5. Теорема Карно

При абсолютно упругом ударе точки о неподвижную поверхность в отсутствие ударного трения скорость точки может изменяться только по направлению. Числовое значение ее остается неизменным. Кинетическая энергия точки и системы точек, находящихся в таких условиях, не изменяется за время удара. При упругом и абсолютно неупругом ударах кинетическая энергия изменяется.

Установим изменение кинетической энергии в случае абсолютно неупругого удара при мгновенном наложении связей для точки и системы в отсутствие ударного трения. По теореме об изменении количества движения для точки (рис. 23) имеем

, (116)

г

Рис. 23

де – масса точки; и – ее скорости непосредственно до и после удара; – ударный импульс от действия поверхности. При отсутствии ударного трения ударный импульс направлен по нормали к поверхности. Скорость точки после такого удара направлена по касательной к поверхности, т.е. ее проекция на нормаль . В рассматриваемом случае ударный импульс и скорость точки после удара взаимно перпендикулярны и поэтому удовлетворяют условию

.

Учитывая это, умножим обе части (116) скалярно на . Получим вспомогательное соотношение

. (117)

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия точки уменьшится на . Добавляя в это выражение величину, равную нулю в форме (117), получим

.

Получена теорема Карно для точки о потере кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе и отсутствии ударного трения:

. (118)

Векторную величину называют потерянной скоростью. Теорему Карно для точки можно сформулировать в следующей форме: потеря кинетической энергии точки при абсолютно неупругом ударе и отсутствии ударного трения в случае мгновенного наложения связей равна кинетической энергии от потерянной скорости.

Имея (118) для точки, получим теорему Карно для системы в случае абсолютно неупругого удара и отсутствия ударного трения. Необходимо при этом, чтобы связи для точек системы, испытывающих удар, создавали ударные импульсы , перпендикулярные скоростям точек после удара , т.е. чтобы для каждой точки выполнялось условие . Тогда для каждой точки справедлива теорема (118)

, (118')

где – потерянная скорость -й точки системы. Суммируя (18') по всем точкам системы и обозначая кинетическую энергию системы до удара , а после удара – , получим

, ,

. (119)

Для справедливости теоремы Карно для системы при мгновенном наложении связей вместо условия для каждой точки достаточно выполнения менее ограничительного условия

.

Получена теорема Карно для системы: потеря кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе в случае мгновенного наложения связей и отсутствия ударного трения равна кинетической энергии от потерянных скоростей точек системы.

Теорему Карно для точки и системы можно получить также для удара, который возникает при мгновенном снятии связей. При этом кинетическая энергия после удара больше кинетической энергии до удара. Потеря кинетической энергии становится отрицательной. Ударный импульс при снятии связи должен быть перпендикулярен скорости точки до удара, так как точка двигалась согласно со связью до удара при абсолютно неупругом ударе. Вспомогательное соотношение для точки при снятии связей принимает форму